ГДЗ: Упражнение 763 - Глава 7 (Итоговые упражнения) - (Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы, Алимов Шавкат Арифджанович, Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна)

Решим неравенство: \( 2\cos x \ge -1 \), то есть \( \cos x \ge -\frac{1}{2} \).

• На единичной окружности значения косинуса больше или равны \( -\frac{1}{2} \) соответствуют дуге от \( -\frac{2\pi}{3} \) до \( \frac{2\pi}{3} \).

• Общее решение: \( -\frac{2\pi}{3} + 2\pi n \le x \le \frac{2\pi}{3} + 2\pi n \), где \( n \in \mathbb{Z} \).

• Найдем решения на промежутке \( [-2\pi; -\pi] \).

  1. При \( n=-1 \):
     \( -\frac{2\pi}{3} - 2\pi \le x \le \frac{2\pi}{3} - 2\pi \)
     \( -\frac{8\pi}{3} \le x \le -\frac{4\pi}{3} \)
     Так как \( -\frac{8\pi}{3} = -2\pi - \frac{2\pi}{3} < -2\pi \) и \( -\frac{4\pi}{3} = -\pi - \frac{\pi}{3} \). (Не подходит, так как нижняя граница выходит за \(-2\pi\))

  2. Переформулируем интервал: На отрезке \( [-2\pi; -\pi] \), \( x \) принимает значения, при которых \( \cos x \ge -\frac{1}{2} \).
     На этом промежутке:
     В интервале \( [-2\pi; -\frac{3\pi}{2}] \) (IV четверть): \( \cos x \) убывает от 1 до 0.
     В интервале \( [-\frac{3\pi}{2}; -\pi] \) (III четверть): \( \cos x \) убывает от 0 до -1.

  3. Условие \( \cos x \ge -\frac{1}{2} \) выполняется для \( x \in [ -2\pi; -\frac{5\pi}{3} ] \cup [ -\frac{4\pi}{3}; -\pi ] \).

     \( \frac{5\pi}{3} \) - это \( -\frac{\pi}{3} \) + \( 2\pi \), а нам нужно отрицательное, т.е. \( -2\pi + \frac{\pi}{3} = -\frac{5\pi}{3} \) и \( -2\pi + \frac{2\pi}{3} = -\frac{4\pi}{3} \).
     На промежутке \( [-2\pi; -\pi] \) косинус возрастает от 1 до -1.
     Корни \( \cos x = -\frac{1}{2} \) в данном интервале:
     \( -2\pi + \frac{2\pi}{3} = -\frac{4\pi}{3} \)
     \( -2\pi + \frac{4\pi}{3} \) (неверно)
     \( -\pi - \frac{\pi}{3} = -\frac{4\pi}{3} \) - точка на границе III и IV четверти.
     \( -2\pi + (\pi - \frac{\pi}{3}) = -\frac{5\pi}{3} \)
     \( -2\pi + (\pi + \frac{\pi}{3}) = -\frac{2\pi}{3} \) (за пределами)
     Корни: \( x = -\frac{5\pi}{3} \) и \( x = -\frac{4\pi}{3} \).

     Так как \( \cos x \ge -\frac{1}{2} \), решение: \( [-2\pi; -\frac{5\pi}{3}] \cup [-\frac{4\pi}{3}; -\pi] \).

Ответ: \( [-2\pi; -\frac{5\pi}{3}] \cup [-\frac{4\pi}{3}; -\pi] \).

Решим неравенство: \( -2\sin x < -1 \), то есть \( \sin x > \frac{1}{2} \).

• На единичной окружности значения синуса больше \( \frac{1}{2} \) соответствуют дуге от \( \frac{\pi}{6} \) до \( \frac{5\pi}{6} \).

• Общее решение: \( \frac{\pi}{6} + 2\pi n < x < \frac{5\pi}{6} + 2\pi n \), где \( n \in \mathbb{Z} \).

• Найдем решения на промежутке \( [-2\pi; -\pi] \).

  1. При \( n=-1 \):
     \( \frac{\pi}{6} - 2\pi < x < \frac{5\pi}{6} - 2\pi \)
     \( -\frac{11\pi}{6} < x < -\frac{7\pi}{6} \)

  2. Проверим принадлежность \( [-\frac{11\pi}{6}; -\frac{7\pi}{6}] \) интервалу \( [-2\pi; -\pi] \):
     \( -\frac{11\pi}{6} = -\pi - \frac{5\pi}{6} \). \( -2\pi < -\frac{11\pi}{6} \) (верно).
     \( -\frac{7\pi}{6} = -\pi - \frac{\pi}{6} \). \( -\frac{7\pi}{6} < -\pi \) (верно).
     Таким образом, интервал \( (-\frac{11\pi}{6}; -\frac{7\pi}{6}) \) полностью лежит в \( [-2\pi; -\pi] \).

  3. Для других \( n \) интервалы не попадают в заданный промежуток.

Ответ: \( (-\frac{11\pi}{6}; -\frac{7\pi}{6}) \).

Решим неравенство: \( \operatorname{tg} x > -2 \).

• Общее решение: \( \operatorname{arctg}(-2) + \pi n < x < \frac{\pi}{2} + \pi n \), где \( n \in \mathbb{Z} \).
  Поскольку арктангенс - нечётная функция, \( \operatorname{arctg}(-2) = -\operatorname{arctg}(2) \).
  Решение: \( -\operatorname{arctg}(2) + \pi n < x < \frac{\pi}{2} + \pi n \).

• Найдем решения на промежутке \( [-2\pi; -\pi] \).
  Для \( n=-2 \):
  \( -\operatorname{arctg}(2) - 2\pi < x < \frac{\pi}{2} - 2\pi \)
  \( -\operatorname{arctg}(2) - 2\pi < x < -\frac{3\pi}{2} \)
  Так как \( \frac{3\pi}{2} \approx 4.71 \), \( \operatorname{arctg}(2) \approx 1.107 \), то \( -\operatorname{arctg}(2) - 2\pi \approx -1.107 - 6.28 = -7.387 \) (не подходит).

• Для \( n=-1 \):
  \( -\operatorname{arctg}(2) - \pi < x < \frac{\pi}{2} - \pi \)
  \( -\operatorname{arctg}(2) - \pi < x < -\frac{\pi}{2} \)
  \( -\operatorname{arctg}(2) - \pi \approx -1.107 - 3.14 = -4.247 \).
  \( -2\pi \approx -6.28 \). \( -\pi \approx -3.14 \).

• Правильный интервал, соответствующий \( n=-1 \) и \( [-2\pi; -\pi] \):
  \( x \in (-\operatorname{arctg}(2) - \pi; -\frac{\pi}{2}) \cap [-2\pi; -\pi] \).
  \( -\frac{\pi}{2} > -\pi \). Граница \( -\frac{\pi}{2} \) выходит за пределы, но граница \( -\pi \) лежит в пределах.
  Правильно: \( x \in (-\operatorname{arctg}(2) - \pi; -\frac{\pi}{2}) \).
  Так как \( -\frac{\pi}{2} = -1.57 \) и \( -\pi = -3.14 \), то \( -\frac{\pi}{2} > -\pi \).

• Учитывая периодичность тангенса и заданный промежуток \( [-2\pi; -\pi] \):
  Промежуток содержит два интервала, в которых тангенс непрерывен: \( [-2\pi; -\frac{3\pi}{2}) \) и \( (-\frac{3\pi}{2}; -\pi] \).
  I. На \( [-2\pi; -\frac{3\pi}{2}) \): \( \operatorname{tg} x \) возрастает от \( \operatorname{tg}(-2\pi) = 0 \) до \( +\infty \).
  Всегда \( \operatorname{tg} x > 0 > -2 \).
  Решение: \( [-2\pi; -\frac{3\pi}{2}) \).
  II. На \( (-\frac{3\pi}{2}; -\pi] \): \( \operatorname{tg} x \) возрастает от \( -\infty \) до \( \operatorname{tg}(-\pi) = 0 \).
  Неравенство \( \operatorname{tg} x > -2 \) выполняется, когда \( x > \operatorname{arctg}(-2) - \pi = -\operatorname{arctg}(2) - \pi \).
  Решение: \( (-\operatorname{arctg}(2) - \pi; -\pi] \).

Ответ: \( [-2\pi; -\frac{3\pi}{2}) \cup (-\operatorname{arctg}(2) - \pi; -\pi] \).

Решим неравенство: \( -\operatorname{tg} x \le -4 \), то есть \( \operatorname{tg} x \ge 4 \).

• Общее решение: \( \operatorname{arctg}(4) + \pi n \le x < \frac{\pi}{2} + \pi n \), где \( n \in \mathbb{Z} \).

• Найдем решения на промежутке \( [-2\pi; -\pi] \).
  Значение \( \operatorname{arctg}(4) \) лежит в интервале \( (\frac{\pi}{4}; \frac{\pi}{2}) \).

• Промежуток \( [-2\pi; -\pi] \) содержит два интервала, в которых тангенс непрерывен: \( [-2\pi; -\frac{3\pi}{2}) \) и \( (-\frac{3\pi}{2}; -\pi] \).
  I. На \( [-2\pi; -\frac{3\pi}{2}) \): \( \operatorname{tg} x \) возрастает от 0 до \( +\infty \).
  Неравенство \( \operatorname{tg} x \ge 4 \) выполняется, когда \( x \ge \operatorname{arctg}(4) - 2\pi \).
  Решение: \( [\operatorname{arctg}(4) - 2\pi; -\frac{3\pi}{2}) \).
  II. На \( (-\frac{3\pi}{2}; -\pi] \): \( \operatorname{tg} x \) возрастает от \( -\infty \) до 0.
  Здесь \( \operatorname{tg} x \le 0 \), поэтому \( \operatorname{tg} x \ge 4 \) не имеет решений.

Ответ: \( [\operatorname{arctg}(4) - 2\pi; -\frac{3\pi}{2}) \).