ГДЗ: Упражнение 773 - Глава 7 (Итоговые упражнения) - (Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы, Алимов Шавкат Арифджанович, Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна)

Построение графика функции \( y = 2\sin \left( x + \frac{\pi}{3} \right) - 2 \) можно выполнить поэтапно, исходя из графика основной функции \( y = \sin x \):

• 1. Исходная функция: \( y_1 = \sin x \). (Период \( T = 2\pi \), амплитуда 1, сдвиг 0)

• 2. Сдвиг по горизонтали: \( y_2 = \sin \left( x + \frac{\pi}{3} \right) \).
  Сдвиг графика \( y_1 \) на \( \frac{\pi}{3} \) влево.

• 3. Изменение амплитуды: \( y_3 = 2\sin \left( x + \frac{\pi}{3} \right) \).
  Растяжение графика \( y_2 \) в 2 раза вдоль оси Oy.
  Множество значений: \( [-2; 2] \).

• 4. Сдвиг по вертикали: \( y = 2\sin \left( x + \frac{\pi}{3} \right) - 2 \).
  Сдвиг графика \( y_3 \) на 2 единицы вниз.

Характеристики итогового графика:
Период: \( T = 2\pi \).
Множество значений: \( [-2 - 2; 2 - 2] = [-4; 0] \).
График - синусоида, лежащая под осью Ox.

Упростим выражение, используя свойство \( \sqrt{a^2} = |a| \):
\( y = \cos x - |\cos x| \).

• Случай 1: \( \cos x \ge 0 \).
  \( y = \cos x - \cos x = 0 \).
  Это происходит при \( x \in [-\frac{\pi}{2} + 2\pi k; \frac{\pi}{2} + 2\pi k] \), где \( k \in \mathbb{Z} \).

• Случай 2: \( \cos x < 0 \).
  \( y = \cos x - (-\cos x) = \cos x + \cos x = 2\cos x \).
  Это происходит при \( x \in (\frac{\pi}{2} + 2\pi k; \frac{3\pi}{2} + 2\pi k) \), где \( k \in \mathbb{Z} \).

График: График функции совпадает с осью Ox (y=0) на интервалах, где \( \cos x \ge 0 \), и совпадает с графиком функции \( y = 2\cos x \) на интервалах, где \( \cos x < 0 \).