ГДЗ: Упражнение 804 - § 46 (Производная) - (Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы, Алимов Шавкат Арифджанович, Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна)
Построить график функции \( y = 3 (x - 2)^2 + 1 \) и график функции, являющейся её производной.
1)
Ответ
Шаг 1: Анализ и построение графика функции \( y = 3 (x - 2)^2 + 1 \)
Данная функция является квадратичной функцией, графиком которой служит парабола. Это преобразование базовой параболы \( y = x^2 \).
Вершина параболы: Сдвиг на 2 единицы вправо (из-за \( (x - 2)^2 \)) и на 1 единицу вверх (из-за \( + 1 \)). Таким образом, вершина параболы находится в точке \( V(2; 1) \).
Ветви параболы направлены вверх, так как коэффициент \( a = 3 > 0 \). Коэффициент \( 3 \) растягивает график по вертикали.
Несколько опорных точек: \( x = 1: y = 3(1 - 2)^2 + 1 = 3(-1)^2 + 1 = 3(1) + 1 = 4 \). Точка \((1; 4)\). \( x = 3: y = 3(3 - 2)^2 + 1 = 3(1)^2 + 1 = 4 \). Точка \((3; 4)\). \( x = 0: y = 3(0 - 2)^2 + 1 = 3(4) + 1 = 13 \). Точка \((0; 13)\).
Шаг 2: Нахождение производной функции \( y' \)
Используем правило дифференцирования сложной функции \( (f(g(x)))' = f'(g(x)) \cdot g'(x) \) и правила для суммы и константы.
Шаг 3: Анализ и построение графика функции \( y' = 6x - 12 \)
Производная функция является линейной функцией, графиком которой служит прямая линия.
Для построения прямой достаточно двух точек. При \( x = 0: y' = 6(0) - 12 = -12 \). Точка \((0; -12)\). При \( y' = 0: 6x - 12 = 0 \implies 6x = 12 \implies x = 2 \). Точка \((2; 0)\). (Это корень производной, соответствующий вершине параболы).
Ответ: График функции \( y = 3 (x - 2)^2 + 1 \) - парабола с вершиной в \( (2; 1) \). График производной \( y' = 6x - 12 \) - прямая линия, проходящая через точки \( (0; -12) \) и \( (2; 0) \).
Что применять при решении
Определение производной
Производной функции \( f(x) \) в точке \( x_0 \) называется предел отношения приращения функции к приращению аргумента при стремлении приращения аргумента к нулю, при условии, что этот предел существует.
Производная степенной функции \( f(x) = x^n \) вычисляется как произведение показателя степени на \( x \) в степени, уменьшенной на единицу. Это правило применимо для любого действительного числа \( n \).
\( (x^n)' = n x^{n-1} \)
Правила дифференцирования
Правила для нахождения производной суммы, разности, произведения и частного функций, а также правило для производной функции, умноженной на константу.
\( (f \pm g)' = f' \pm g' \); \( (c f)' = c f' \); \( (f g)' = f' g + f g' \); \( (\frac{f}{g})' = \frac{f' g - f g'}{g^2} \)
Производная сложной функции (Цепное правило)
Если функция \( F(x) \) является композицией функций, т.е. \( F(x) = f(g(x)) \), то её производная равна производной внешней функции, вычисленной в точке внутренней функции, умноженной на производную внутренней функции.
\( (f(g(x)))' = f'(g(x)) \cdot g'(x) \)
Условие дифференцируемости
Функция \( y = f(x) \) дифференцируема в точке \( x_0 \) тогда и только тогда, когда существует её производная \( f'(x_0) \). На практике для функции, заданной разными формулами на разных интервалах, это означает существование и равенство левой и правой производных в точке стыка, а также непрерывность функции в этой точке.
\( f'_{-}(x_0) = f'_{+}(x_0) \)
Физический смысл производной
Если \( s(t) \) - закон движения тела, то производная \( s'(t) \) является мгновенной скоростью \( v(t) \) тела в момент времени \( t \).
Создать проектГотовый файл Word. Оплата после того, как увидите работу.
Уведомление об авторском праве и цитировании
ВНИМАНИЕ: Представленные фрагменты из учебных материалов
используются исключительно в научно-образовательных целях в объеме,
оправданном поставленной целью.
Данное использование осуществляется в рамках, установленных законодательством об авторском праве
(в частности, нормами о свободном использовании произведения для образовательных целей).
В соответствии с законодательством, автор и источник заимствования
указаны для каждого используемого фрагмента.
