ГДЗ: Упражнение 808 - § 46 (Производная) - (Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы, Алимов Шавкат Арифджанович, Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна)

Шаг 1: Анализ непрерывности функции

• Функция \( y = f(x) = \frac{x - 3}{x^2 - 1} \) является дробно-рациональной функцией. Область определения функции - все действительные числа, кроме тех, которые обращают знаменатель в ноль: \( x^2 - 1 = 0 \implies (x - 1)(x + 1) = 0 \).
  Таким образом, \( x \ne 1 \) и \( x \ne -1 \).

• В точке \( x = 1 \) знаменатель равен \( 1^2 - 1 = 0 \), а числитель равен \( 1 - 3 = -2 \). Поскольку знаменатель равен нулю, а числитель не равен нулю, в точке \( x = 1 \) функция имеет разрыв второго рода (вертикальная асимптота).

Шаг 2: Вывод о дифференцируемости

• Необходимое условие дифференцируемости: Если функция дифференцируема в точке, то она обязательно должна быть непрерывна в этой точке.

• Так как функция \( f(x) \) не определена и, следовательно, непрерывна в точке \( x = 1 \), она не может быть дифференцируема в этой точке.

Ответ: Функция \( y = \frac{x - 3}{x^2 - 1} \) не дифференцируема в точке \( x = 1 \), поскольку она не определена в этой точке (имеет разрыв).

Шаг 1: Анализ непрерывности функции

• Функция \( y = f(x) = \frac{3x - 5}{(x - 3)^2} \) является дробно-рациональной функцией. Область определения: все действительные числа, кроме \( x = 3 \), так как в этой точке знаменатель \( (x - 3)^2 = 0 \).

• В точке \( x = 3 \) знаменатель равен \( 0 \), а числитель равен \( 3(3) - 5 = 9 - 5 = 4 \ne 0 \). Следовательно, в точке \( x = 3 \) функция имеет разрыв второго рода (вертикальная асимптота).

Шаг 2: Вывод о дифференцируемости

• Поскольку функция непрерывна в точке \( x = 3 \), она не дифференцируема в этой точке.

Ответ: Функция \( y = \frac{3x - 5}{(x - 3)^2} \) не дифференцируема в точке \( x = 3 \), так как она не определена в этой точке.

Шаг 1: Нахождение производной \( y' \)

• Функция: \( y = \sqrt{x + 1} = (x + 1)^{\frac{1}{2}} \).

• Находим производную, используя правило для сложной функции:
  \( y' = \left( (x + 1)^{\frac{1}{2}} \right)' = \frac{1}{2} (x + 1)^{\frac{1}{2} - 1} \cdot (x + 1)' \).
  Производная внутренней функции \( (x + 1)' = 1 \).

• Таким образом, \( y' = \frac{1}{2} (x + 1)^{-\frac{1}{2}} \cdot 1 = \frac{1}{2\sqrt{x + 1}} \).

Шаг 2: Вычисление \( y'(0) \)

• Подставляем \( x = 0 \) в выражение для производной:
  \( y'(0) = \frac{1}{2\sqrt{0 + 1}} = \frac{1}{2\sqrt{1}} = \frac{1}{2} \).

Шаг 3: Вывод о дифференцируемости

• Так как производная функции \( y'(0) \) существует и равна \( \frac{1}{2} \), функция дифференцируема в точке \( x = 0 \).

Ответ: Функция \( y = \sqrt{x + 1} \) дифференцируема в точке \( x = 0 \), так как ее производная \( y'(0) = \frac{1}{2} \) существует.

Шаг 1: Нахождение производной \( y' \)

• Функция: \( y = \sqrt{5 - x} = (5 - x)^{\frac{1}{2}} \). Область определения: \( 5 - x \ge 0 \implies x \le 5 \).

• Находим производную с помощью цепного правила:
  \( y' = \left( (5 - x)^{\frac{1}{2}} \right)' = \frac{1}{2} (5 - x)^{\frac{1}{2} - 1} \cdot (5 - x)' \).

• Производная внутренней функции \( (5 - x)' = (5)' - (x)' = 0 - 1 = -1 \).

• Таким образом, \( y' = \frac{1}{2} (5 - x)^{-\frac{1}{2}} \cdot (-1) = -\frac{1}{2\sqrt{5 - x}} \).

Шаг 2: Вычисление \( y'(4) \)

• Подставляем \( x = 4 \) в выражение для производной:
  \( y'(4) = -\frac{1}{2\sqrt{5 - 4}} = -\frac{1}{2\sqrt{1}} = -\frac{1}{2} \).

Шаг 3: Вывод о дифференцируемости

• Так как производная функции \( y'(4) \) существует и равна \( -\frac{1}{2} \), функция дифференцируема в точке \( x = 4 \).

Ответ: Функция \( y = \sqrt{5 - x} \) дифференцируема в точке \( x = 4 \), так как ее производная \( y'(4) = -\frac{1}{2} \) существует.