На Горох
Разбор упражнения

ГДЗ: Упражнение 809 - § 46 (Производная) - (Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы, Алимов Шавкат Арифджанович, Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна)

Глава 8 Страницы: 243, 244, 245
А вы знали? Проект, реферат или доклад можно создать с помощью ИИ за 5 минут — и сразу скачать готовый файл Word. Попробовать

809 упражнение:

Найти значения \( x \), при которых значение производной функции \( f(x) \) равно 0, если:

1) \( f(x) = x^3 - 2x \)
Ответ

Шаг 1: Нахождение производной \( f'(x) \)

  • Находим производную функции:
    \( f'(x) = (x^3 - 2x)' = 3x^2 - 2 \).

Шаг 2: Приравнивание производной к нулю

  • Приравниваем полученную производную к нулю и решаем уравнение относительно \( x \):
    \( 3x^2 - 2 = 0 \).

  • \( 3x^2 = 2 \).

  • \( x^2 = \frac{2}{3} \).

  • \( x = \pm \sqrt{\frac{2}{3}} = \pm \frac{\sqrt{6}}{3} \).

Ответ: Значения \( x \), при которых \( f'(x) = 0 \), это \( x = \frac{\sqrt{6}}{3} \) и \( x = -\frac{\sqrt{6}}{3} \).

2) \( f(x) = -x^3 + 3x + 1 \)
Ответ

Шаг 1: Нахождение производной \( f'(x) \)

  • Находим производную функции:
    \( f'(x) = (-x^3 + 3x + 1)' = -3x^2 + 3 + 0 = -3x^2 + 3 \).

Шаг 2: Приравнивание производной к нулю

  • Приравниваем производную к нулю и решаем уравнение:
    \( -3x^2 + 3 = 0 \).

  • \( 3x^2 = 3 \).

  • \( x^2 = 1 \).

  • \( x = \pm 1 \).

Ответ: Значения \( x \), при которых \( f'(x) = 0 \), это \( x = 1 \) и \( x = -1 \).

3) \( f(x) = 2x^3 + 3x^2 - 12x - 3 \)
Ответ

Шаг 1: Нахождение производной \( f'(x) \)

  • Находим производную функции:
    \( f'(x) = (2x^3 + 3x^2 - 12x - 3)' = 2(3x^2) + 3(2x) - 12(1) - 0 = 6x^2 + 6x - 12 \).

Шаг 2: Приравнивание производной к нулю

  • Приравниваем производную к нулю и решаем квадратное уравнение:
    \( 6x^2 + 6x - 12 = 0 \).

  • Делим все слагаемые на 6:
    \( x^2 + x - 2 = 0 \).

  • Используем теорему Виета или дискриминант. (По Виету: \( x_1 + x_2 = -1 \), \( x_1 x_2 = -2 \)).
    Корни: \( x_1 = -2 \), \( x_2 = 1 \).

Ответ: Значения \( x \), при которых \( f'(x) = 0 \), это \( x = -2 \) и \( x = 1 \).

4) \( f(x) = x^3 + 2x^2 - 7x + 1 \)
Ответ

Шаг 1: Нахождение производной \( f'(x) \)

  • Находим производную функции:
    \( f'(x) = (x^3 + 2x^2 - 7x + 1)' = 3x^2 + 2(2x) - 7(1) + 0 = 3x^2 + 4x - 7 \).

Шаг 2: Приравнивание производной к нулю

  • Приравниваем производную к нулю и решаем квадратное уравнение:
    \( 3x^2 + 4x - 7 = 0 \).

  • Используем формулу корней квадратного уравнения \( x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \):
    \( D = 4^2 - 4(3)(-7) = 16 + 84 = 100 \). \( \sqrt{D} = 10 \).

  • \( x_1 = \frac{-4 - 10}{2(3)} = \frac{-14}{6} = -\frac{7}{3} \).

  • \( x_2 = \frac{-4 + 10}{2(3)} = \frac{6}{6} = 1 \).

Ответ: Значения \( x \), при которых \( f'(x) = 0 \), это \( x = -\frac{7}{3} \) и \( x = 1 \).

5) \( f(x) = 3x^4 - 4x^3 - 12x^2 \)
Ответ

Шаг 1: Нахождение производной \( f'(x) \)

  • Находим производную функции:
    \( f'(x) = (3x^4 - 4x^3 - 12x^2)' = 3(4x^3) - 4(3x^2) - 12(2x) = 12x^3 - 12x^2 - 24x \).

Шаг 2: Приравнивание производной к нулю

  • Приравниваем производную к нулю:
    \( 12x^3 - 12x^2 - 24x = 0 \).

  • Выносим общий множитель \( 12x \):
    \( 12x (x^2 - x - 2) = 0 \).

  • Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю:
    1) \( 12x = 0 \implies x_1 = 0 \).
    2) \( x^2 - x - 2 = 0 \). (По Виету: \( x_2 + x_3 = 1 \), \( x_2 x_3 = -2 \)).
    Корни: \( x_2 = 2 \), \( x_3 = -1 \).

Ответ: Значения \( x \), при которых \( f'(x) = 0 \), это \( x = 0 \), \( x = -1 \) и \( x = 2 \).

6) \( f(x) = x^4 + 4x^3 - 8x^2 - 5 \)
Ответ

Шаг 1: Нахождение производной \( f'(x) \)

  • Находим производную функции:
    \( f'(x) = (x^4 + 4x^3 - 8x^2 - 5)' = 4x^3 + 4(3x^2) - 8(2x) - 0 = 4x^3 + 12x^2 - 16x \).

Шаг 2: Приравнивание производной к нулю

  • Приравниваем производную к нулю:
    \( 4x^3 + 12x^2 - 16x = 0 \).

  • Выносим общий множитель \( 4x \):
    \( 4x (x^2 + 3x - 4) = 0 \).

  • Произведение равно нулю, если:
    1) \( 4x = 0 \implies x_1 = 0 \).
    2) \( x^2 + 3x - 4 = 0 \). (По Виету: \( x_2 + x_3 = -3 \), \( x_2 x_3 = -4 \)).
    Корни: \( x_2 = -4 \), \( x_3 = 1 \).

Ответ: Значения \( x \), при которых \( f'(x) = 0 \), это \( x = 0 \), \( x = -4 \) и \( x = 1 \).

Что применять при решении

Определение производной

Производной функции \( f(x) \) в точке \( x_0 \) называется предел отношения приращения функции к приращению аргумента при стремлении приращения аргумента к нулю, при условии, что этот предел существует.
\( f'(x_0) = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(x_0 + \Delta x) - f(x_0)}{\Delta x} \)

Производная степенной функции

Производная степенной функции \( f(x) = x^n \) вычисляется как произведение показателя степени на \( x \) в степени, уменьшенной на единицу. Это правило применимо для любого действительного числа \( n \).
\( (x^n)' = n x^{n-1} \)

Правила дифференцирования

Правила для нахождения производной суммы, разности, произведения и частного функций, а также правило для производной функции, умноженной на константу.
\( (f \pm g)' = f' \pm g' \); \( (c f)' = c f' \); \( (f g)' = f' g + f g' \); \( (\frac{f}{g})' = \frac{f' g - f g'}{g^2} \)

Производная сложной функции (Цепное правило)

Если функция \( F(x) \) является композицией функций, т.е. \( F(x) = f(g(x)) \), то её производная равна производной внешней функции, вычисленной в точке внутренней функции, умноженной на производную внутренней функции.
\( (f(g(x)))' = f'(g(x)) \cdot g'(x) \)

Условие дифференцируемости

Функция \( y = f(x) \) дифференцируема в точке \( x_0 \) тогда и только тогда, когда существует её производная \( f'(x_0) \). На практике для функции, заданной разными формулами на разных интервалах, это означает существование и равенство левой и правой производных в точке стыка, а также непрерывность функции в этой точке.
\( f'_{-}(x_0) = f'_{+}(x_0) \)

Физический смысл производной

Если \( s(t) \) - закон движения тела, то производная \( s'(t) \) является мгновенной скоростью \( v(t) \) тела в момент времени \( t \).
\( v(t) = s'(t) \)

Не сходится своя задача? Разберём по шагам

  • Формула, подстановка и расчёт
  • Числа считает калькулятор, а не нейросеть
  • Бесплатно и без регистрации
Решить задачу Разбор задачи бесплатный

Другие упражнения из параграфа § 46

802 803 804 805 806 807 808 809 810 811 812 813 814 815 816 817 818 819 820 821 822 823 824 825 826 827 828 829 830

Данные параграфа

К параграфу →
Глава
Глава 8
Параграф
§ 46 — Производная
Учебник
Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы
Автор
Алимов Шавкат Арифджанович, Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна
Год
2025

Задали работу по этой теме?

Реферат, доклад или проект по параграфу: план, текст, таблицы и оформление по требованиям.

Создать проект Готовый файл Word. Оплата после того, как увидите работу.

Уведомление об авторском праве и цитировании

ВНИМАНИЕ: Представленные фрагменты из учебных материалов используются исключительно в научно-образовательных целях в объеме, оправданном поставленной целью.

Данное использование осуществляется в рамках, установленных законодательством об авторском праве (в частности, нормами о свободном использовании произведения для образовательных целей).

В соответствии с законодательством, автор и источник заимствования указаны для каждого используемого фрагмента.