ГДЗ: Упражнение 829 - § 46 (Производная) - (Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы, Алимов Шавкат Арифджанович, Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна)
В тонком неоднородном стержне длиной \( 25 \) см его масса (в граммах) распределена по закону \( m = 2l^2 + 3l \), где \( l \) — длина стержня, отсчитываемая от его начала. Найти линейную плотность:
1)
в точке, отстоящей от начала стержня на \( 3 \) см;
Ответ
Шаг 1: Определение линейной плотности
Линейная плотность \( \rho(l) \) - это производная от функции распределения массы \( m(l) \) по длине \( l \): \( \rho(l) = m'(l) \).
Подставляем \( l = 3 \) в выражение для \( \rho(l) \): \( \rho(3) = 4(3) + 3 = 12 + 3 = 15 \) г/см.
Ответ: Линейная плотность в точке, отстоящей от начала стержня на 3 см, равна \( 15 \) г/см.
2)
в конце стержня.
Ответ
Шаг 1: Определение длины конца стержня
Длина стержня \( L = 25 \) см. Конец стержня соответствует \( l = 25 \) см.
Шаг 2: Нахождение производной \( m'(l) \)
Из предыдущего пункта, линейная плотность \( \rho(l) = m'(l) = 4l + 3 \) г/см.
Шаг 3: Вычисление плотности при \( l = 25 \) см
Подставляем \( l = 25 \) в выражение для \( \rho(l) \): \( \rho(25) = 4(25) + 3 = 100 + 3 = 103 \) г/см.
Ответ: Линейная плотность в конце стержня равна \( 103 \) г/см.
Что применять при решении
Определение производной
Производной функции \( f(x) \) в точке \( x_0 \) называется предел отношения приращения функции к приращению аргумента при стремлении приращения аргумента к нулю, при условии, что этот предел существует.
Производная степенной функции \( f(x) = x^n \) вычисляется как произведение показателя степени на \( x \) в степени, уменьшенной на единицу. Это правило применимо для любого действительного числа \( n \).
\( (x^n)' = n x^{n-1} \)
Правила дифференцирования
Правила для нахождения производной суммы, разности, произведения и частного функций, а также правило для производной функции, умноженной на константу.
\( (f \pm g)' = f' \pm g' \); \( (c f)' = c f' \); \( (f g)' = f' g + f g' \); \( (\frac{f}{g})' = \frac{f' g - f g'}{g^2} \)
Производная сложной функции (Цепное правило)
Если функция \( F(x) \) является композицией функций, т.е. \( F(x) = f(g(x)) \), то её производная равна производной внешней функции, вычисленной в точке внутренней функции, умноженной на производную внутренней функции.
\( (f(g(x)))' = f'(g(x)) \cdot g'(x) \)
Условие дифференцируемости
Функция \( y = f(x) \) дифференцируема в точке \( x_0 \) тогда и только тогда, когда существует её производная \( f'(x_0) \). На практике для функции, заданной разными формулами на разных интервалах, это означает существование и равенство левой и правой производных в точке стыка, а также непрерывность функции в этой точке.
\( f'_{-}(x_0) = f'_{+}(x_0) \)
Физический смысл производной
Если \( s(t) \) - закон движения тела, то производная \( s'(t) \) является мгновенной скоростью \( v(t) \) тела в момент времени \( t \).
Создать проектГотовый файл Word. Оплата после того, как увидите работу.
Уведомление об авторском праве и цитировании
ВНИМАНИЕ: Представленные фрагменты из учебных материалов
используются исключительно в научно-образовательных целях в объеме,
оправданном поставленной целью.
Данное использование осуществляется в рамках, установленных законодательством об авторском праве
(в частности, нормами о свободном использовании произведения для образовательных целей).
В соответствии с законодательством, автор и источник заимствования
указаны для каждого используемого фрагмента.
