ГДЗ: Упражнение 828 - § 46 (Производная) - (Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы, Алимов Шавкат Арифджанович, Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна)
Тело, масса которого \( m = 5 \) кг, движется прямолинейно по закону \( s = 1 - t + t^2 \) (где \( s \) измеряется в метрах, \( t \) — в секундах). Найти кинетическую энергию тела \( \frac{m v^2}{2} \) через \( 10 \) с после начала движения.
1)
Ответ
Шаг 1: Нахождение скорости \( v(t) \)
Скорость \( v(t) \) - это производная от закона движения \( s(t) \) по времени \( t \): \( v(t) = s'(t) \).
Закон движения: \( s(t) = 1 - t + t^2 \). \( v(t) = (1 - t + t^2)' = 0 - 1 + 2t = 2t - 1 \).
Шаг 2: Вычисление скорости в момент \( t = 10 \) с
Подставляем \( t = 10 \) в выражение для \( v(t) \): \( v(10) = 2(10) - 1 = 20 - 1 = 19 \) м/с.
Шаг 3: Вычисление кинетической энергии \( E_k \)
Кинетическая энергия: \( E_k = \frac{m v^2}{2} \). Масса \( m = 5 \) кг, скорость \( v = 19 \) м/с.
Ответ: Кинетическая энергия тела через 10 с после начала движения равна \( 902,5 \) Дж.
Что применять при решении
Определение производной
Производной функции \( f(x) \) в точке \( x_0 \) называется предел отношения приращения функции к приращению аргумента при стремлении приращения аргумента к нулю, при условии, что этот предел существует.
Производная степенной функции \( f(x) = x^n \) вычисляется как произведение показателя степени на \( x \) в степени, уменьшенной на единицу. Это правило применимо для любого действительного числа \( n \).
\( (x^n)' = n x^{n-1} \)
Правила дифференцирования
Правила для нахождения производной суммы, разности, произведения и частного функций, а также правило для производной функции, умноженной на константу.
\( (f \pm g)' = f' \pm g' \); \( (c f)' = c f' \); \( (f g)' = f' g + f g' \); \( (\frac{f}{g})' = \frac{f' g - f g'}{g^2} \)
Производная сложной функции (Цепное правило)
Если функция \( F(x) \) является композицией функций, т.е. \( F(x) = f(g(x)) \), то её производная равна производной внешней функции, вычисленной в точке внутренней функции, умноженной на производную внутренней функции.
\( (f(g(x)))' = f'(g(x)) \cdot g'(x) \)
Условие дифференцируемости
Функция \( y = f(x) \) дифференцируема в точке \( x_0 \) тогда и только тогда, когда существует её производная \( f'(x_0) \). На практике для функции, заданной разными формулами на разных интервалах, это означает существование и равенство левой и правой производных в точке стыка, а также непрерывность функции в этой точке.
\( f'_{-}(x_0) = f'_{+}(x_0) \)
Физический смысл производной
Если \( s(t) \) - закон движения тела, то производная \( s'(t) \) является мгновенной скоростью \( v(t) \) тела в момент времени \( t \).
Создать проектГотовый файл Word. Оплата после того, как увидите работу.
Уведомление об авторском праве и цитировании
ВНИМАНИЕ: Представленные фрагменты из учебных материалов
используются исключительно в научно-образовательных целях в объеме,
оправданном поставленной целью.
Данное использование осуществляется в рамках, установленных законодательством об авторском праве
(в частности, нормами о свободном использовании произведения для образовательных целей).
В соответствии с законодательством, автор и источник заимствования
указаны для каждого используемого фрагмента.
