ГДЗ: Упражнение 807 - Параграф § 46 (Производная) - (Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы, Алимов Шавкат Арифджанович, Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна)

807 упражнение:

Найти \( f'(3) \) и \( f'(1) \), если:

1) \( f(x) = \frac{1}{x} + \frac{1}{x^2} \)

Ответ

Шаг 1: Нахождение производной \( f'(x) \)

Представим функцию в виде суммы степенных функций: \( f(x) = x^{-1} + x^{-2} \).
Находим производную:
\( f'(x) = (x^{-1})' + (x^{-2})' = (-1) x^{-1-1} + (-2) x^{-2-1} = -x^{-2} - 2x^{-3} \).
Записываем в виде дроби для удобства вычислений:
\( f'(x) = -\frac{1}{x^2} - \frac{2}{x^3} \).

Шаг 2: Вычисление \( f'(3) \)

Подставляем \( x = 3 \) в выражение для производной:
\( f'(3) = -\frac{1}{3^2} - \frac{2}{3^3} = -\frac{1}{9} - \frac{2}{27} \).
Приводим к общему знаменателю \( 27 \):
\( f'(3) = -\frac{1 \cdot 3}{9 \cdot 3} - \frac{2}{27} = -\frac{3}{27} - \frac{2}{27} = -\frac{5}{27} \).

Шаг 3: Вычисление \( f'(1) \)

Подставляем \( x = 1 \) в выражение для производной:
\( f'(1) = -\frac{1}{1^2} - \frac{2}{1^3} = -1 - 2 = -3 \).

Ответ: \( f'(3) = -\frac{5}{27} \), \( f'(1) = -3 \).

2) \( f(x) = \sqrt{x} + \frac{1}{x} + 1 \)

Ответ

Шаг 1: Нахождение производной \( f'(x) \)

Представим функцию в виде: \( f(x) = x^{\frac{1}{2}} + x^{-1} + 1 \).
Находим производную:
\( f'(x) = (x^{\frac{1}{2}})' + (x^{-1})' + (1)' \).
Применяем правило для степенной функции:
\( f'(x) = \frac{1}{2} x^{\frac{1}{2}-1} + (-1) x^{-1-1} + 0 = \frac{1}{2} x^{-\frac{1}{2}} - x^{-2} \).
Записываем в виде дроби/корней:
\( f'(x) = \frac{1}{2\sqrt{x}} - \frac{1}{x^2} \).

Шаг 2: Вычисление \( f'(3) \)

Подставляем \( x = 3 \):
\( f'(3) = \frac{1}{2\sqrt{3}} - \frac{1}{3^2} = \frac{1}{2\sqrt{3}} - \frac{1}{9} \).
При необходимости можно избавиться от иррациональности в знаменателе:
\( f'(3) = \frac{\sqrt{3}}{2\sqrt{3}\sqrt{3}} - \frac{1}{9} = \frac{\sqrt{3}}{6} - \frac{1}{9} \).

Шаг 3: Вычисление \( f'(1) \)

Подставляем \( x = 1 \):
\( f'(1) = \frac{1}{2\sqrt{1}} - \frac{1}{1^2} = \frac{1}{2} - 1 = -\frac{1}{2} \).

Ответ: \( f'(3) = \frac{1}{2\sqrt{3}} - \frac{1}{9} \) (или \( \frac{\sqrt{3}}{6} - \frac{1}{9} \)), \( f'(1) = -\frac{1}{2} \).

Что применять при решении

Определение производной

Производной функции \( f(x) \) в точке \( x_0 \) называется предел отношения приращения функции к приращению аргумента при стремлении приращения аргумента к нулю, при условии, что этот предел существует.

\( f'(x_0) = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(x_0 + \Delta x) - f(x_0)}{\Delta x} \)

Производная степенной функции

Производная степенной функции \( f(x) = x^n \) вычисляется как произведение показателя степени на \( x \) в степени, уменьшенной на единицу. Это правило применимо для любого действительного числа \( n \).

\( (x^n)' = n x^{n-1} \)

Правила дифференцирования

Правила для нахождения производной суммы, разности, произведения и частного функций, а также правило для производной функции, умноженной на константу.

\( (f \pm g)' = f' \pm g' \); \( (c f)' = c f' \); \( (f g)' = f' g + f g' \); \( (\frac{f}{g})' = \frac{f' g - f g'}{g^2} \)

Производная сложной функции (Цепное правило)

Если функция \( F(x) \) является композицией функций, т.е. \( F(x) = f(g(x)) \), то её производная равна производной внешней функции, вычисленной в точке внутренней функции, умноженной на производную внутренней функции.

\( (f(g(x)))' = f'(g(x)) \cdot g'(x) \)

Условие дифференцируемости

Функция \( y = f(x) \) дифференцируема в точке \( x_0 \) тогда и только тогда, когда существует её производная \( f'(x_0) \). На практике для функции, заданной разными формулами на разных интервалах, это означает существование и равенство левой и правой производных в точке стыка, а также непрерывность функции в этой точке.

\( f'_{-}(x_0) = f'_{+}(x_0) \)

Физический смысл производной

Если \( s(t) \) - закон движения тела, то производная \( s'(t) \) является мгновенной скоростью \( v(t) \) тела в момент времени \( t \).

\( v(t) = s'(t) \)

Другие упражнения из параграфа § 46

802 803 804 805 806 807 808 809 810 811 812 813 814 815 816 817 818 819 820 821 822 823 824 825 826 827 828 829 830

Данные параграфа

К параграфу →

Глава: Глава 8
Параграф: § 46 — Производная
Учебник: Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы
Автор: Алимов Шавкат Арифджанович, Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна
Год: 2025

Уведомление об авторском праве и цитировании

ВНИМАНИЕ: Представленные фрагменты из учебных материалов используются исключительно в научно-образовательных целях в объеме, оправданном поставленной целью.

Данное использование осуществляется в рамках, установленных законодательством об авторском праве (в частности, нормами о свободном использовании произведения для образовательных целей).

В соответствии с законодательством, автор и источник заимствования указаны для каждого используемого фрагмента.