ГДЗ: Упражнение 825 - § 46 (Производная) - (Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы, Алимов Шавкат Арифджанович, Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна)
График квадратичной функции \( y = 3x^2 - 8x \) - парабола с ветвями, направленными вверх (коэффициент \( 3 > 0 \)). Функция положительна вне интервала между корнями.
Результат: \( x < 0 \) или \( x > \frac{8}{3} \).
Ответ: Производная функции положительна при \( x \in (-\infty; 0) \cup (\frac{8}{3}; +\infty) \).
На ОДЗ (\( x > 0 \)): \( 2\sqrt{x} \) всегда положительно. \( x + 2 \) всегда положительно (\( x > 0 \)). \( 5x + 2 \) всегда положительно (\( x > 0 \)).
Следовательно, \( f'(x) > 0 \) для всех \( x \) из области определения, где производная существует.
Ответ: Производная функции положительна при \( x \in (0; +\infty) \).
4)
\( f(x) = (x - 3)\sqrt{x} \)
Ответ
Шаг 1: Нахождение области определения и производной \( f'(x) \)
Область определения функции: \( x \ge 0 \).
Используем производную, найденную в задаче 810 (3) для \( (x - 1)\sqrt{x} \), но здесь \( (x - 3)\sqrt{x} \). Находим производную: \( u = x - 3 \), \( v = \sqrt{x} = x^{\frac{1}{2}} \). \( f'(x) = 1 \cdot \sqrt{x} + (x - 3) \cdot \frac{1}{2\sqrt{x}} = \frac{2x + x - 3}{2\sqrt{x}} = \frac{3x - 3}{2\sqrt{x}} \).
Шаг 2: Решение неравенства \( f'(x) > 0 \)
Требуется решить неравенство \( \frac{3x - 3}{2\sqrt{x}} > 0 \).
На ОДЗ (\( x > 0 \)): Знаменатель \( 2\sqrt{x} \) всегда положителен. Неравенство эквивалентно: \( 3x - 3 > 0 \).
Учитывая ОДЗ \( x > 0 \), окончательное условие \( x > 1 \).
Ответ: Производная функции положительна при \( x \in (1; +\infty) \).
Что применять при решении
Определение производной
Производной функции \( f(x) \) в точке \( x_0 \) называется предел отношения приращения функции к приращению аргумента при стремлении приращения аргумента к нулю, при условии, что этот предел существует.
Производная степенной функции \( f(x) = x^n \) вычисляется как произведение показателя степени на \( x \) в степени, уменьшенной на единицу. Это правило применимо для любого действительного числа \( n \).
\( (x^n)' = n x^{n-1} \)
Правила дифференцирования
Правила для нахождения производной суммы, разности, произведения и частного функций, а также правило для производной функции, умноженной на константу.
\( (f \pm g)' = f' \pm g' \); \( (c f)' = c f' \); \( (f g)' = f' g + f g' \); \( (\frac{f}{g})' = \frac{f' g - f g'}{g^2} \)
Производная сложной функции (Цепное правило)
Если функция \( F(x) \) является композицией функций, т.е. \( F(x) = f(g(x)) \), то её производная равна производной внешней функции, вычисленной в точке внутренней функции, умноженной на производную внутренней функции.
\( (f(g(x)))' = f'(g(x)) \cdot g'(x) \)
Условие дифференцируемости
Функция \( y = f(x) \) дифференцируема в точке \( x_0 \) тогда и только тогда, когда существует её производная \( f'(x_0) \). На практике для функции, заданной разными формулами на разных интервалах, это означает существование и равенство левой и правой производных в точке стыка, а также непрерывность функции в этой точке.
\( f'_{-}(x_0) = f'_{+}(x_0) \)
Физический смысл производной
Если \( s(t) \) - закон движения тела, то производная \( s'(t) \) является мгновенной скоростью \( v(t) \) тела в момент времени \( t \).
Создать проектГотовый файл Word. Оплата после того, как увидите работу.
Уведомление об авторском праве и цитировании
ВНИМАНИЕ: Представленные фрагменты из учебных материалов
используются исключительно в научно-образовательных целях в объеме,
оправданном поставленной целью.
Данное использование осуществляется в рамках, установленных законодательством об авторском праве
(в частности, нормами о свободном использовании произведения для образовательных целей).
В соответствии с законодательством, автор и источник заимствования
указаны для каждого используемого фрагмента.
