ГДЗ: Упражнение 812 - § 46 (Производная) - (Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы, Алимов Шавкат Арифджанович, Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна)
График производной - это график функции \( y_1 = 3x^2 + 4x - 3 \).
Шаг 2: Определение точек пересечения
Графики двух функций \( y_1 \) и \( y_2 = 3x + 1 \) пересекаются, если существует хотя бы одно значение \( x \), при котором \( y_1 = y_2 \). Приравниваем функции: \( 3x^2 + 4x - 3 = 3x + 1 \).
Переносим все члены в левую часть, чтобы получить квадратное уравнение: \( 3x^2 + 4x - 3x - 3 - 1 = 0 \). \( 3x^2 + x - 4 = 0 \).
Шаг 3: Исследование существования корней квадратного уравнения
Для квадратного уравнения \( ax^2 + bx + c = 0 \) корни существуют, если дискриминант \( D \ge 0 \). Здесь \( a = 3 \), \( b = 1 \), \( c = -4 \). \( D = b^2 - 4ac = 1^2 - 4(3)(-4) = 1 + 48 = 49 \).
Так как \( D = 49 > 0 \), уравнение имеет два различных действительных корня.
Поскольку существуют два значения \( x \) (\( x = 1 \) и \( x = -\frac{4}{3} \)), при которых функции имеют одинаковое значение, их графики пересекаются.
Ответ: Графики пересекаются в двух точках, поскольку уравнение \( 3x^2 + x - 4 = 0 \) имеет действительные корни.
Что применять при решении
Определение производной
Производной функции \( f(x) \) в точке \( x_0 \) называется предел отношения приращения функции к приращению аргумента при стремлении приращения аргумента к нулю, при условии, что этот предел существует.
Производная степенной функции \( f(x) = x^n \) вычисляется как произведение показателя степени на \( x \) в степени, уменьшенной на единицу. Это правило применимо для любого действительного числа \( n \).
\( (x^n)' = n x^{n-1} \)
Правила дифференцирования
Правила для нахождения производной суммы, разности, произведения и частного функций, а также правило для производной функции, умноженной на константу.
\( (f \pm g)' = f' \pm g' \); \( (c f)' = c f' \); \( (f g)' = f' g + f g' \); \( (\frac{f}{g})' = \frac{f' g - f g'}{g^2} \)
Производная сложной функции (Цепное правило)
Если функция \( F(x) \) является композицией функций, т.е. \( F(x) = f(g(x)) \), то её производная равна производной внешней функции, вычисленной в точке внутренней функции, умноженной на производную внутренней функции.
\( (f(g(x)))' = f'(g(x)) \cdot g'(x) \)
Условие дифференцируемости
Функция \( y = f(x) \) дифференцируема в точке \( x_0 \) тогда и только тогда, когда существует её производная \( f'(x_0) \). На практике для функции, заданной разными формулами на разных интервалах, это означает существование и равенство левой и правой производных в точке стыка, а также непрерывность функции в этой точке.
\( f'_{-}(x_0) = f'_{+}(x_0) \)
Физический смысл производной
Если \( s(t) \) - закон движения тела, то производная \( s'(t) \) является мгновенной скоростью \( v(t) \) тела в момент времени \( t \).
Создать проектГотовый файл Word. Оплата после того, как увидите работу.
Уведомление об авторском праве и цитировании
ВНИМАНИЕ: Представленные фрагменты из учебных материалов
используются исключительно в научно-образовательных целях в объеме,
оправданном поставленной целью.
Данное использование осуществляется в рамках, установленных законодательством об авторском праве
(в частности, нормами о свободном использовании произведения для образовательных целей).
В соответствии с законодательством, автор и источник заимствования
указаны для каждого используемого фрагмента.
