ГДЗ: Упражнение 990 - Параграф § 55 (Правила нахождения первообразных) - (Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы, Алимов Шавкат Арифджанович, Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна)

990 упражнение:

Найти одну из первообразных функций.

1) \( (x+1)^4 \)

Ответ

Используем правило для линейной функции: \( \int (kx+b)^p dx = \frac{(kx+b)^{p+1}}{k(p+1)} + C \). Здесь \( k=1 \), \( p=4 \).

Шаг 1: Применяем формулу: \( F(x) = \frac{(x+1)^{4+1}}{1 \cdot (4+1)} = \frac{(x+1)^5}{5} \).

Ответ: \( \frac{1}{5} (x+1)^5 \)

2) \( (x-2)^5 \)

Ответ

Применяем то же правило. Здесь \( k=1 \), \( p=5 \).

Шаг 1: Применяем формулу: \( F(x) = \frac{(x-2)^{5+1}}{1 \cdot (5+1)} = \frac{(x-2)^6}{6} \).

Ответ: \( \frac{1}{6} (x-2)^6 \)

3) \( \frac{2}{\sqrt{x-2}} + \frac{3}{\sqrt{x+3}} \)

Ответ

Перепишем функцию: \( f(x) = 2(x-2)^{-1/2} + 3(x+3)^{-1/2} \). Используем правило для \( (kx+b)^p \) с \( p = -1/2 \).

Шаг 1: Первообразная для \( 2(x-2)^{-1/2} \): \( 2 \cdot \frac{(x-2)^{-1/2+1}}{1 \cdot (-1/2+1)} = 2 \cdot \frac{(x-2)^{1/2}}{1/2} = 4\sqrt{x-2} \).
Шаг 2: Первообразная для \( 3(x+3)^{-1/2} \): \( 3 \cdot \frac{(x+3)^{1/2}}{1/2} = 6\sqrt{x+3} \).
Шаг 3: Суммируем: \( F(x) = 4\sqrt{x-2} + 6\sqrt{x+3} \).

Ответ: \( 4\sqrt{x-2} + 6\sqrt{x+3} \)

4) \( e^{3x-2} + 3 \sin x \)

Ответ

Для \( e^{3x-2} \) используем правило для линейной функции с \( k=3 \): \( \int e^{kx+b} dx = \frac{1}{k} e^{kx+b} + C \).

Шаг 1: Первообразная для \( e^{3x-2} \): \( \frac{1}{3} e^{3x-2} \).
Шаг 2: Первообразная для \( 3 \sin x \): \( 3 (-\cos x) = -3 \cos x \).
Шаг 3: Суммируем: \( F(x) = \frac{1}{3} e^{3x-2} - 3 \cos x \).

Ответ: \( \frac{1}{3} e^{3x-2} - 3 \cos x \)

5) \( \frac{5}{x-1} + 4 \cos (x+2) \)

Ответ

Используем правило: \( \int \frac{1}{kx+b} dx = \frac{1}{k} \ln (kx+b) + C \) и \( \int \cos (kx+b) dx = \frac{1}{k} \sin (kx+b) + C \). Здесь \( k=1 \) в обоих случаях.

Шаг 1: Первообразная для \( \frac{5}{x-1} \): \( 5 \ln (x-1) \).
Шаг 2: Первообразная для \( 4 \cos (x+2) \): \( 4 \sin (x+2) \).
Шаг 3: Суммируем: \( F(x) = 5 \ln (x-1) + 4 \sin (x+2) \).

Ответ: \( 5 \ln (x-1) + 4 \sin (x+2) \)

6) \( \frac{3}{x-3} - 2 \sin (x-1) \)

Ответ

Применяем правила интегрирования для линейных функций с \( k=1 \).

Шаг 1: Первообразная для \( \frac{3}{x-3} \): \( 3 \ln (x-3) \).
Шаг 2: Первообразная для \( -2 \sin (x-1) \): \( -2 \cdot (-\cos (x-1)) = 2 \cos (x-1) \).
Шаг 3: Суммируем: \( F(x) = 3 \ln (x-3) + 2 \cos (x-1) \).

Ответ: \( 3 \ln (x-3) + 2 \cos (x-1) \)

Что применять при решении

Определение первообразной

Функция \( F(x) \) называется первообразной для функции \( f(x) \) на некотором промежутке, если для всех \( x \) из этого промежутка выполняется равенство \( F'(x) = f(x) \). Все первообразные функции \( f(x) \) имеют вид \( F(x) + C \), где \( C \) — произвольная постоянная.

\( F'(x) = f(x) \)

Правило нахождения первообразной суммы/разности

Первообразная суммы (разности) функций равна сумме (разности) их первообразных.

\( \int (f(x) \pm g(x)) dx = \int f(x) dx \pm \int g(x) dx \)

Правило нахождения первообразной с постоянным множителем

Постоянный множитель можно вынести за знак первообразной.

\( \int a f(x) dx = a \int f(x) dx \)

Первообразная степенной функции

Правило для нахождения первообразной степенной функции, где \( p \ne -1 \).

\( \int x^p dx = \frac{x^{p+1}}{p+1} + C \)

Первообразная для линейной функции

Если \( F(x) \) — первообразная для \( f(x) \), то первообразная для \( f(kx + b) \) находится по формуле, которая учитывает коэффициент \( k \) при переменной \( x \).

\( \int f(kx+b) dx = \frac{1}{k} F(kx+b) + C \quad (k \ne 0) \)

Другие упражнения из параграфа § 55

988 989 990 991 992 993 994 995 996 997 998

Данные параграфа

К параграфу →

Глава: Глава 10
Параграф: § 55 — Правила нахождения первообразных
Учебник: Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы
Автор: Алимов Шавкат Арифджанович, Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна
Год: 2025

Уведомление об авторском праве и цитировании

ВНИМАНИЕ: Представленные фрагменты из учебных материалов используются исключительно в научно-образовательных целях в объеме, оправданном поставленной целью.

Данное использование осуществляется в рамках, установленных законодательством об авторском праве (в частности, нормами о свободном использовании произведения для образовательных целей).

В соответствии с законодательством, автор и источник заимствования указаны для каждого используемого фрагмента.