ГДЗ: Упражнение 997 - § 55 (Правила нахождения первообразных) - (Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы, Алимов Шавкат Арифджанович, Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна)

• Шаг 1: Находим общую первообразную \( F(x) \).
  Для \( 2 \sin 5x \) (\( k=5 \)): \( 2 \cdot (-\frac{1}{5} \cos 5x) = -\frac{2}{5} \cos 5x \).
  Для \( 3 \cos \frac{x}{2} \) (\( k=1/2 \)): \( 3 \cdot (\frac{1}{1/2} \sin \frac{x}{2}) = 6 \sin \frac{x}{2} \).
  Общая первообразная: \( F(x) = -\frac{2}{5} \cos 5x + 6 \sin \frac{x}{2} + C \).
• Шаг 2: Используем условие \( F(\pi) = 0 \):
  \(-\frac{2}{5} \cos (5\pi) + 6 \sin (\frac{\pi}{2}) + C = 0 \).
• Шаг 3: Вычисляем значения тригонометрических функций:
  \( \cos (5\pi) = -1 \).
  \( \sin (\frac{\pi}{2}) = 1 \).
  Подставляем: \( -\frac{2}{5} (-1) + 6 (1) + C = 0 \).
• Шаг 4: Решаем относительно \( C \):
  \( \frac{2}{5} + 6 + C = 0 \Rightarrow 6\frac{2}{5} + C = 0 \Rightarrow C = -6\frac{2}{5} = -\frac{32}{5} \).
• Шаг 5: Записываем искомую первообразную: \( F(x) = -\frac{2}{5} \cos 5x + 6 \sin \frac{x}{2} - \frac{32}{5} \).

Ответ: \( F(x) = -\frac{2}{5} \cos 5x + 6 \sin \frac{x}{2} - \frac{32}{5} \)