ГДЗ: Упражнение 995 - Параграф § 55 (Правила нахождения первообразных) - (Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы, Алимов Шавкат Арифджанович, Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна)

995 упражнение:

Найти одну из первообразных функции.

1) \( (2x+1) \sqrt{x} \)

Ответ

Перепишем функцию, используя степени: \( f(x) = (2x+1) x^{1/2} = 2x^{1 + 1/2} + x^{1/2} = 2x^{3/2} + x^{1/2} \).

Шаг 1: Первообразная для \( 2x^{3/2} \): \( 2 \cdot \frac{x^{3/2+1}}{3/2+1} = 2 \cdot \frac{x^{5/2}}{5/2} = 2 \cdot \frac{2}{5} x^{5/2} = \frac{4}{5} x^{5/2} \).
Шаг 2: Первообразная для \( x^{1/2} \): \( \frac{x^{1/2+1}}{1/2+1} = \frac{x^{3/2}}{3/2} = \frac{2}{3} x^{3/2} \).
Шаг 3: Суммируем, используя корни: \( F(x) = \frac{4}{5} x^2 \sqrt{x} + \frac{2}{3} x \sqrt{x} \).

Ответ: \( \frac{4}{5} x^2 \sqrt{x} + \frac{2}{3} x \sqrt{x} \)

2) \( (3x-2) \sqrt[3]{x} \)

Ответ

Перепишем функцию: \( f(x) = (3x-2) x^{1/3} = 3x^{1 + 1/3} - 2x^{1/3} = 3x^{4/3} - 2x^{1/3} \).

Шаг 1: Первообразная для \( 3x^{4/3} \): \( 3 \cdot \frac{x^{4/3+1}}{4/3+1} = 3 \cdot \frac{x^{7/3}}{7/3} = 3 \cdot \frac{3}{7} x^{7/3} = \frac{9}{7} x^{7/3} \).
Шаг 2: Первообразная для \( -2x^{1/3} \): \( -2 \cdot \frac{x^{1/3+1}}{1/3+1} = -2 \cdot \frac{x^{4/3}}{4/3} = -2 \cdot \frac{3}{4} x^{4/3} = -\frac{3}{2} x^{4/3} \).
Шаг 3: Суммируем, используя корни: \( F(x) = \frac{9}{7} x^2 \sqrt[3]{x} - \frac{3}{2} x \sqrt[3]{x} \).

Ответ: \( \frac{9}{7} x^2 \sqrt[3]{x} - \frac{3}{2} x \sqrt[3]{x} \)

3) \( \frac{x+4}{\sqrt{x}} \)

Ответ

Разделим числитель на знаменатель: \( f(x) = \frac{x}{x^{1/2}} + \frac{4}{x^{1/2}} = x^{1/2} + 4x^{-1/2} \).

Шаг 1: Первообразная для \( x^{1/2} \): \( \frac{x^{3/2}}{3/2} = \frac{2}{3} x^{3/2} \).
Шаг 2: Первообразная для \( 4x^{-1/2} \): \( 4 \cdot \frac{x^{1/2}}{1/2} = 8x^{1/2} = 8 \sqrt{x} \).
Шаг 3: Суммируем: \( F(x) = \frac{2}{3} x \sqrt{x} + 8 \sqrt{x} \).

Ответ: \( \frac{2}{3} x \sqrt{x} + 8 \sqrt{x} \)

4) \( \frac{x-3}{\sqrt[3]{x}} \)

Ответ

Разделим числитель на знаменатель: \( f(x) = \frac{x}{x^{1/3}} - \frac{3}{x^{1/3}} = x^{2/3} - 3x^{-1/3} \).

Шаг 1: Первообразная для \( x^{2/3} \): \( \frac{x^{5/3}}{5/3} = \frac{3}{5} x^{5/3} \).
Шаг 2: Первообразная для \( -3x^{-1/3} \): \( -3 \cdot \frac{x^{2/3}}{2/3} = -\frac{9}{2} x^{2/3} \).
Шаг 3: Суммируем: \( F(x) = \frac{3}{5} x^{5/3} - \frac{9}{2} x^{2/3} \).

Ответ: \( \frac{3}{5} x \sqrt[3]{x^2} - \frac{9}{2} \sqrt[3]{x^2} \)

Что применять при решении

Определение первообразной

Функция \( F(x) \) называется первообразной для функции \( f(x) \) на некотором промежутке, если для всех \( x \) из этого промежутка выполняется равенство \( F'(x) = f(x) \). Все первообразные функции \( f(x) \) имеют вид \( F(x) + C \), где \( C \) — произвольная постоянная.

\( F'(x) = f(x) \)

Правило нахождения первообразной суммы/разности

Первообразная суммы (разности) функций равна сумме (разности) их первообразных.

\( \int (f(x) \pm g(x)) dx = \int f(x) dx \pm \int g(x) dx \)

Правило нахождения первообразной с постоянным множителем

Постоянный множитель можно вынести за знак первообразной.

\( \int a f(x) dx = a \int f(x) dx \)

Первообразная степенной функции

Правило для нахождения первообразной степенной функции, где \( p \ne -1 \).

\( \int x^p dx = \frac{x^{p+1}}{p+1} + C \)

Первообразная для линейной функции

Если \( F(x) \) — первообразная для \( f(x) \), то первообразная для \( f(kx + b) \) находится по формуле, которая учитывает коэффициент \( k \) при переменной \( x \).

\( \int f(kx+b) dx = \frac{1}{k} F(kx+b) + C \quad (k \ne 0) \)

Другие упражнения из параграфа § 55

988 989 990 991 992 993 994 995 996 997 998

Данные параграфа

К параграфу →

Глава: Глава 10
Параграф: § 55 — Правила нахождения первообразных
Учебник: Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы
Автор: Алимов Шавкат Арифджанович, Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна
Год: 2025

Уведомление об авторском праве и цитировании

ВНИМАНИЕ: Представленные фрагменты из учебных материалов используются исключительно в научно-образовательных целях в объеме, оправданном поставленной целью.

Данное использование осуществляется в рамках, установленных законодательством об авторском праве (в частности, нормами о свободном использовании произведения для образовательных целей).

В соответствии с законодательством, автор и источник заимствования указаны для каждого используемого фрагмента.