ГДЗ: Упражнение 998 - § 55 (Правила нахождения первообразных) - (Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы, Алимов Шавкат Арифджанович, Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна)

Данная функция требует разложения на простейшие дроби: \( \frac{x}{x^3 - 1} = \frac{x}{(x-1)(x^2+x+1)} \). Процесс интегрирования является сложным и выходит за рамки элементарных правил, представленных в параграфе. Однако, выполним формальное интегрирование с помощью метода неопределенных коэффициентов.

• Шаг 1: Разложим дробь на простейшие: \( \frac{x}{(x-1)(x^2+x+1)} = \frac{A}{x-1} + \frac{Bx+C}{x^2+x+1} \). В результате получаем: \( A = \frac{1}{3} \), \( B = -\frac{1}{3} \), \( C = \frac{1}{3} \).
  Таким образом: \( f(x) = \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{x-1} + \frac{1}{3} \cdot \frac{1-x}{x^2+x+1} \).
• Шаг 2: Находим первообразную для первого члена: \( \int \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{x-1} dx = \frac{1}{3} \ln |x-1| \).
• Шаг 3: Находим первообразную для второго члена, разбивая его на части:
  \( \frac{1-x}{x^2+x+1} = -\frac{1}{2} \cdot \frac{2x+1}{x^2+x+1} + \frac{3/2}{x^2+x+1} \).
  Интегрирование этих дробей дает:
  \( \int \frac{2x+1}{x^2+x+1} dx = \ln (x^2+x+1) \) (используя замену \( u = x^2+x+1 \)).
  \( \int \frac{1}{x^2+x+1} dx = \int \frac{1}{(x+1/2)^2 + 3/4} dx = \frac{2}{\sqrt{3}} \arctan (\frac{2x+1}{\sqrt{3}}) \).
• Шаг 4: Собираем первообразную:
  \( F(x) = \frac{1}{3} \ln |x-1| + \frac{1}{3} \left( -\frac{1}{2} \ln (x^2+x+1) + \frac{3}{2} \cdot \frac{2}{\sqrt{3}} \arctan (\frac{2x+1}{\sqrt{3}}) \right) \).
  \( F(x) = \frac{1}{3} \ln |x-1| - \frac{1}{6} \ln (x^2+x+1) + \frac{1}{\sqrt{3}} \arctan (\frac{2x+1}{\sqrt{3}}) \).

Ответ: \( \frac{1}{3} \ln |x-1| - \frac{1}{6} \ln (x^2+x+1) + \frac{1}{\sqrt{3}} \arctan (\frac{2x+1}{\sqrt{3}}) \)

Сначала разложим знаменатель на множители: \( x^2 + x - 2 = (x+2)(x-1) \). Функцию можно упростить.

• Шаг 1: Упрощаем функцию для \( x \ne 1 \) и \( x \ne -2 \): \( f(x) = \frac{x-1}{(x+2)(x-1)} = \frac{1}{x+2} \).
• Шаг 2: Находим первообразную для \( \frac{1}{x+2} \) с \( k=1 \): \( F(x) = \ln (x+2) \). (Используем модуль в более строгом смысле, но для одной первообразной можно взять положительную ветвь).

Ответ: \( \ln (x+2) \)

Используем тригонометрическую формулу понижения степени: \( \cos^2 x = \frac{1 + \cos 2x}{2} = \frac{1}{2} + \frac{1}{2} \cos 2x \).

• Шаг 1: Находим первообразную для \( \frac{1}{2} \): \( \frac{1}{2} x \).
• Шаг 2: Находим первообразную для \( \frac{1}{2} \cos 2x \) с \( k=2 \): \( \frac{1}{2} \cdot (\frac{1}{2} \sin 2x) = \frac{1}{4} \sin 2x \).
• Шаг 3: Суммируем: \( F(x) = \frac{1}{2} x + \frac{1}{4} \sin 2x \).

Ответ: \( \frac{1}{2} x + \frac{1}{4} \sin 2x \)

Используем тригонометрическую формулу преобразования произведения в сумму: \( \sin \alpha \cos \beta = \frac{1}{2} [\sin (\alpha + \beta) + \sin (\alpha - \beta)] \).

• Шаг 1: Преобразуем функцию с \( \alpha = 3x \) и \( \beta = 5x \):
  \( f(x) = \frac{1}{2} [\sin (3x + 5x) + \sin (3x - 5x)] = \frac{1}{2} [\sin 8x + \sin (-2x)] \).
• Шаг 2: Учитываем, что \( \sin (-2x) = -\sin 2x \):
  \( f(x) = \frac{1}{2} \sin 8x - \frac{1}{2} \sin 2x \).
• Шаг 3: Находим первообразную для каждого члена.
  Для \( \frac{1}{2} \sin 8x \) (\( k=8 \)): \( \frac{1}{2} \cdot (-\frac{1}{8} \cos 8x) = -\frac{1}{16} \cos 8x \).
  Для \( -\frac{1}{2} \sin 2x \) (\( k=2 \)): \( -\frac{1}{2} \cdot (-\frac{1}{2} \cos 2x) = \frac{1}{4} \cos 2x \).
• Шаг 4: Суммируем: \( F(x) = \frac{1}{4} \cos 2x - \frac{1}{16} \cos 8x \).

Ответ: \( \frac{1}{4} \cos 2x - \frac{1}{16} \cos 8x \)