ГДЗ: Упражнение 992 - § 55 (Правила нахождения первообразных) - (Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы, Алимов Шавкат Арифджанович, Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна)

• Шаг 1: Находим общую первообразную \( F(x) \): \( F(x) = \int (2x + 3) dx = x^2 + 3x + C \).
• Шаг 2: Используем координаты точки \( M(1; 2) \), подставляя \( x=1 \) и \( F(x)=2 \): \( 1^2 + 3(1) + C = 2 \).
• Шаг 3: Решаем относительно \( C \): \( 1 + 3 + C = 2 \Rightarrow 4 + C = 2 \Rightarrow C = -2 \).
• Шаг 4: Записываем искомую первообразную: \( F(x) = x^2 + 3x - 2 \).

Ответ: \( F(x) = x^2 + 3x - 2 \)

• Шаг 1: Находим общую первообразную \( F(x) \): \( F(x) = \int (4x - 1) dx = 2x^2 - x + C \).
• Шаг 2: Используем точку \( M(-1; 3) \): \( 2(-1)^2 - (-1) + C = 3 \).
• Шаг 3: Решаем относительно \( C \): \( 2(1) + 1 + C = 3 \Rightarrow 3 + C = 3 \Rightarrow C = 0 \).
• Шаг 4: Записываем искомую первообразную: \( F(x) = 2x^2 - x \).

Ответ: \( F(x) = 2x^2 - x \)

• Шаг 1: Находим общую первообразную \( F(x) \) с \( k=2 \): \( F(x) = -\frac{1}{2} \cos 2x + C \).
• Шаг 2: Используем точку \( M(\frac{\pi}{2}; 5) \): \( -\frac{1}{2} \cos (2 \cdot \frac{\pi}{2}) + C = 5 \).
• Шаг 3: Решаем относительно \( C \). Так как \( \cos \pi = -1 \): \( -\frac{1}{2} (-1) + C = 5 \Rightarrow \frac{1}{2} + C = 5 \Rightarrow C = 5 - \frac{1}{2} = \frac{9}{2} \).
• Шаг 4: Записываем искомую первообразную: \( F(x) = -\frac{1}{2} \cos 2x + \frac{9}{2} \).

Ответ: \( F(x) = -\frac{1}{2} \cos 2x + \frac{9}{2} \)

• Шаг 1: Находим общую первообразную \( F(x) \) с \( k=3 \): \( F(x) = \frac{1}{3} \sin 3x + C \).
• Шаг 2: Используем точку \( M(0; 0) \): \( \frac{1}{3} \sin (3 \cdot 0) + C = 0 \).
• Шаг 3: Решаем относительно \( C \). Так как \( \sin 0 = 0 \): \( 0 + C = 0 \Rightarrow C = 0 \).
• Шаг 4: Записываем искомую первообразную: \( F(x) = \frac{1}{3} \sin 3x \).

Ответ: \( F(x) = \frac{1}{3} \sin 3x \)