ГДЗ: Упражнение 994 - Параграф § 55 (Правила нахождения первообразных) - (Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы, Алимов Шавкат Арифджанович, Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна)

994 упражнение:

Найти одну из первообразных функции.

1) \( \frac{2x^4 - 4x^3 + x}{3} \)

Ответ

Разделим числитель на знаменатель, чтобы получить сумму степенных функций: \( f(x) = \frac{2}{3} x^4 - \frac{4}{3} x^3 + \frac{1}{3} x \).

Шаг 1: Первообразная для \( \frac{2}{3} x^4 \): \( \frac{2}{3} \cdot \frac{x^5}{5} = \frac{2}{15} x^5 \).
Шаг 2: Первообразная для \( -\frac{4}{3} x^3 \): \( -\frac{4}{3} \cdot \frac{x^4}{4} = -\frac{1}{3} x^4 \).
Шаг 3: Первообразная для \( \frac{1}{3} x \): \( \frac{1}{3} \cdot \frac{x^2}{2} = \frac{1}{6} x^2 \).
Шаг 4: Суммируем: \( F(x) = \frac{2}{15} x^5 - \frac{1}{3} x^4 + \frac{1}{6} x^2 \).

Ответ: \( \frac{2}{15} x^5 - \frac{1}{3} x^4 + \frac{1}{6} x^2 \)

2) \( \frac{6x^3 - 3x + 2}{2} \)

Ответ

Разделим числитель на знаменатель: \( f(x) = 3x^3 - \frac{3}{2} x + 1 \).

Шаг 1: Первообразная для \( 3x^3 \): \( 3 \cdot \frac{x^4}{4} = \frac{3}{4} x^4 \).
Шаг 2: Первообразная для \( -\frac{3}{2} x \): \( -\frac{3}{2} \cdot \frac{x^2}{2} = -\frac{3}{4} x^2 \).
Шаг 3: Первообразная для \( 1 \): \( x \).
Шаг 4: Суммируем: \( F(x) = \frac{3}{4} x^4 - \frac{3}{4} x^2 + x \).

Ответ: \( \frac{3}{4} x^4 - \frac{3}{4} x^2 + x \)

3) \( (1 + 2x)(x - 3) \)

Ответ

Сначала раскрываем скобки: \( f(x) = 1 \cdot x - 1 \cdot 3 + 2x \cdot x - 2x \cdot 3 = x - 3 + 2x^2 - 6x = 2x^2 - 5x - 3 \).

Шаг 1: Находим первообразную для \( 2x^2 \): \( 2 \cdot \frac{x^3}{3} = \frac{2}{3} x^3 \).
Шаг 2: Находим первообразную для \( -5x \): \( -5 \cdot \frac{x^2}{2} = -\frac{5}{2} x^2 \).
Шаг 3: Находим первообразную для \( -3 \): \( -3x \).
Шаг 4: Суммируем: \( F(x) = \frac{2}{3} x^3 - \frac{5}{2} x^2 - 3x \).

Ответ: \( \frac{2}{3} x^3 - \frac{5}{2} x^2 - 3x \)

4) \( (2x - 3)(2 + 3x) \)

Ответ

Сначала раскрываем скобки: \( f(x) = 2x \cdot 2 + 2x \cdot 3x - 3 \cdot 2 - 3 \cdot 3x = 4x + 6x^2 - 6 - 9x = 6x^2 - 5x - 6 \).

Шаг 1: Находим первообразную для \( 6x^2 \): \( 6 \cdot \frac{x^3}{3} = 2x^3 \).
Шаг 2: Находим первообразную для \( -5x \): \( -5 \cdot \frac{x^2}{2} = -\frac{5}{2} x^2 \).
Шаг 3: Находим первообразную для \( -6 \): \( -6x \).
Шаг 4: Суммируем: \( F(x) = 2x^3 - \frac{5}{2} x^2 - 6x \).

Ответ: \( 2x^3 - \frac{5}{2} x^2 - 6x \)

Что применять при решении

Определение первообразной

Функция \( F(x) \) называется первообразной для функции \( f(x) \) на некотором промежутке, если для всех \( x \) из этого промежутка выполняется равенство \( F'(x) = f(x) \). Все первообразные функции \( f(x) \) имеют вид \( F(x) + C \), где \( C \) — произвольная постоянная.

\( F'(x) = f(x) \)

Правило нахождения первообразной суммы/разности

Первообразная суммы (разности) функций равна сумме (разности) их первообразных.

\( \int (f(x) \pm g(x)) dx = \int f(x) dx \pm \int g(x) dx \)

Правило нахождения первообразной с постоянным множителем

Постоянный множитель можно вынести за знак первообразной.

\( \int a f(x) dx = a \int f(x) dx \)

Первообразная степенной функции

Правило для нахождения первообразной степенной функции, где \( p \ne -1 \).

\( \int x^p dx = \frac{x^{p+1}}{p+1} + C \)

Первообразная для линейной функции

Если \( F(x) \) — первообразная для \( f(x) \), то первообразная для \( f(kx + b) \) находится по формуле, которая учитывает коэффициент \( k \) при переменной \( x \).

\( \int f(kx+b) dx = \frac{1}{k} F(kx+b) + C \quad (k \ne 0) \)

Другие упражнения из параграфа § 55

988 989 990 991 992 993 994 995 996 997 998

Данные параграфа

К параграфу →

Глава: Глава 10
Параграф: § 55 — Правила нахождения первообразных
Учебник: Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы
Автор: Алимов Шавкат Арифджанович, Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна
Год: 2025

Уведомление об авторском праве и цитировании

ВНИМАНИЕ: Представленные фрагменты из учебных материалов используются исключительно в научно-образовательных целях в объеме, оправданном поставленной целью.

Данное использование осуществляется в рамках, установленных законодательством об авторском праве (в частности, нормами о свободном использовании произведения для образовательных целей).

В соответствии с законодательством, автор и источник заимствования указаны для каждого используемого фрагмента.