ГДЗ: Упражнение 996 - § 55 (Правила нахождения первообразных) - (Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы, Алимов Шавкат Арифджанович, Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна)

Используем тригонометрическую формулу для синуса двойного угла: \( \sin 2x = 2 \sin x \cos x \), откуда \( \sin x \cos x = \frac{1}{2} \sin 2x \). Значит, \( f(x) = \frac{1}{2} \sin 2x \).

• Шаг 1: Находим первообразную для \( \sin 2x \) с \( k=2 \): \( \int \sin 2x dx = -\frac{1}{2} \cos 2x \).
• Шаг 2: Умножаем на константу \( \frac{1}{2} \): \( F(x) = \frac{1}{2} \cdot (-\frac{1}{2} \cos 2x) = -\frac{1}{4} \cos 2x \).

Ответ: \( -\frac{1}{4} \cos 2x \)

Используем формулу синуса разности углов: \( \sin (\alpha - \beta) = \sin \alpha \cos \beta - \cos \alpha \sin \beta \). Здесь \( \alpha = x \) и \( \beta = 3x \).

• Шаг 1: Упрощаем функцию: \( f(x) = \sin (x - 3x) = \sin (-2x) \).
• Шаг 2: Используем нечетность синуса: \( f(x) = -\sin 2x \).
• Шаг 3: Находим первообразную для \( -\sin 2x \) с \( k=2 \): \( F(x) = -\int \sin 2x dx = -(-\frac{1}{2} \cos 2x) = \frac{1}{2} \cos 2x \).

Ответ: \( \frac{1}{2} \cos 2x \)