ГДЗ: Упражнение 165 - § 10 (Иррациональные неравенства) - (Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы, Алимов Шавкат Арифджанович, Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна)

Решение системы неравенств

Решим каждое неравенство отдельно, а затем найдем пересечение их решений.

1. Решение первого неравенства: \( 3 - x \le 2 \)

• Переносим \( x \) в правую часть, а \( 2 \) в левую: \( 3 - 2 \le x \)
• Вычисляем: \( 1 \le x \) или \( x \ge 1 \).

2. Решение второго неравенства: \( 2x + 1 < 4 \)

• Переносим \( 1 \) в правую часть: \( 2x < 4 - 1 \)
• Вычисляем: \( 2x < 3 \)
• Делим обе части на \( 2 \): \( x < \frac{3}{2} \) или \( x < 1,5 \).

3. Нахождение решения системы

Система состоит из двух неравенств: \( \begin{cases} x \ge 1, \\ x < 1,5. \end{cases} \)

Пересечением этих решений является интервал: \( [1; 1,5) \).

Ответ: \( [1; 1,5) \).

Решение системы неравенств

Решим каждое неравенство отдельно, а затем найдем пересечение их решений.

1. Решение первого неравенства: \( |x^2 - 1| \ge 0 \)

• Пояснение: Модуль любого действительного числа всегда неотрицателен.
• Следовательно: Данное неравенство верно для любого действительного \( x \): \( x \in (-\infty; +\infty) \).

2. Решение второго неравенства: \( x^2 > 2 \)

• Переносим \( 2 \) в левую часть: \( x^2 - 2 > 0 \)
• Разлагаем на множители как разность квадратов: \( (x - \sqrt{2})(x + \sqrt{2}) > 0 \)
• Метод интервалов: Корни квадратного трехчлена \( x^2 - 2 = 0 \) - это \( x = \sqrt{2} \) и \( x = -\sqrt{2} \).
• Поскольку парабола \( y = x^2 - 2 \) направлена ветвями вверх, то неравенство \( x^2 - 2 > 0 \) выполняется вне корней.
• Следовательно: \( x \in (-\infty; -\sqrt{2}) \cup (\sqrt{2}; +\infty) \).

3. Нахождение решения системы

Система состоит из двух неравенств: \( \begin{cases} x \in (-\infty; +\infty), \\ x \in (-\infty; -\sqrt{2}) \cup (\sqrt{2}; +\infty). \end{cases} \)

Пересечением решений является: \( (-\infty; -\sqrt{2}) \cup (\sqrt{2}; +\infty) \).

Ответ: \( (-\infty; -\sqrt{2}) \cup (\sqrt{2}; +\infty) \).

Решение системы неравенств

Рассмотрим первое неравенство.

1. Решение первого неравенства: \( |9 - x^2| < 0 \)

• Пояснение: Модуль любого действительного числа всегда неотрицателен, то есть \( |9 - x^2| \ge 0 \) для всех \( x \).
• Следовательно: Неравенство \( |9 - x^2| < 0 \) не имеет решений.

2. Нахождение решения системы

Поскольку первое неравенство не имеет решений, то система не имеет решений (пересечение пустого множества с любым другим множеством - пустое множество).

Ответ: Решений нет.