ГДЗ: Упражнение 171 - § 10 (Иррациональные неравенства) - (Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы, Алимов Шавкат Арифджанович, Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна)

Решение иррационального неравенства

Перепишем: \( \sqrt{x + 1} < \sqrt{x} + \sqrt{x - 1} \).

1. Область допустимых значений (ОДЗ)

• \( x + 1 \ge 0 \implies x \ge -1 \).
• \( x - 1 \ge 0 \implies x \ge 1 \).
• \( x \ge 0 \).
• ОДЗ: \( x \ge 1 \).

2. Возведение в квадрат

• Обе части неравенства неотрицательны в ОДЗ, возводим в квадрат: \( (\sqrt{x + 1})^2 < (\sqrt{x} + \sqrt{x - 1})^2 \).
• \( x + 1 < x + 2\sqrt{x(x - 1)} + (x - 1) \)
• \( x + 1 < 2x - 1 + 2\sqrt{x^2 - x} \)
• Упрощаем: \( 2 - x < 2\sqrt{x^2 - x} \).

3. Решение неравенства \( 2 - x < 2\sqrt{x^2 - x} \) в ОДЗ \( x \ge 1 \)

• Это неравенство вида \( g(x) < \sqrt{f(x)} \). Равносильно объединению двух систем.
• Система I (левая часть отрицательна): \[ \begin{cases} g(x) < 0, \\ f(x) \ge 0. \end{cases} \implies \begin{cases} 2 - x < 0, \\ x^2 - x \ge 0. \end{cases} \]
• Из первого: \( x > 2 \).
• Из второго: \( x(x - 1) \ge 0 \implies x \le 0 \) или \( x \ge 1 \).
• Пересечение: \( x > 2 \) (так как \( (2; +\infty) \) полностью входит в \( x \ge 1 \)).
• Система II (левая часть неотрицательна): \[ \begin{cases} g(x) \ge 0, \\ (g(x))^2 < f(x). \end{cases} \implies \begin{cases} 2 - x \ge 0, \\ (2 - x)^2 < 4(x^2 - x). \end{cases} \]
• Из первого: \( x \le 2 \).
• Из второго: \( 4 - 4x + x^2 < 4x^2 - 4x \) \( \implies 4 < 3x^2 \) или \( x^2 > \frac{4}{3} \).
• Следовательно: \( x < -\frac{2}{\sqrt{3}} \) или \( x > \frac{2}{\sqrt{3}} \). (\( \frac{2}{\sqrt{3}} \approx 1,15 \)).
• Находим пересечение условий Системы II с ОДЗ \( x \ge 1 \): \( 1 \le x \le 2 \) и \( (x < -\frac{2}{\sqrt{3}} \text{ или } x > \frac{2}{\sqrt{3}}) \).
• Пересечение: \( \frac{2}{\sqrt{3}} < x \le 2 \).

4. Объединение решений

• Объединяем решения: \( (2; +\infty) \cup (\frac{2}{\sqrt{3}}; 2] \).
• Итоговый ответ: \( x > \frac{2}{\sqrt{3}} \).

Ответ: \( x > \frac{2}{\sqrt{3}} \) или \( (\frac{2}{\sqrt{3}}; +\infty) \).

Решение иррационального неравенства

Неравенство вида \( \sqrt{A} < \sqrt{B} + \sqrt{C} \).

1. Область допустимых значений (ОДЗ)

• \( x + 3 \ge 0 \implies x \ge -3 \).
• \( 7 - x \ge 0 \implies x \le 7 \).
• \( 10 - x \ge 0 \implies x \le 10 \).
• ОДЗ: \( -3 \le x \le 7 \).

2. Возведение в квадрат

• Обе части неравенства неотрицательны в ОДЗ, возводим в квадрат: \( (\sqrt{x + 3})^2 < (\sqrt{7 - x} + \sqrt{10 - x})^2 \).
• \( x + 3 < (7 - x) + (10 - x) + 2\sqrt{(7 - x)(10 - x)} \)
• \( x + 3 < 17 - 2x + 2\sqrt{70 - 17x + x^2} \)
• Упрощаем: \( 3x - 14 < 2\sqrt{x^2 - 17x + 70} \).

3. Решение неравенства \( 3x - 14 < 2\sqrt{x^2 - 17x + 70} \) в ОДЗ \( -3 \le x \le 7 \)

• Это неравенство вида \( g(x) < 2\sqrt{f(x)} \). Равносильно объединению двух систем.
• Система I (левая часть отрицательна): \[ \begin{cases} 3x - 14 < 0, \\ x^2 - 17x + 70 \ge 0. \end{cases} \]
• Из первого: \( 3x < 14 \implies x < \frac{14}{3} \approx 4,67 \).
• Из второго: \( x^2 - 17x + 70 = 0 \). Корни \( x_1 = 7 \), \( x_2 = 10 \) (по Виету). \( x^2 - 17x + 70 \ge 0 \implies x \le 7 \) или \( x \ge 10 \).
• Находим пересечение с ОДЗ \( -3 \le x \le 7 \): \( -3 \le x < \frac{14}{3} \). (Так как \( x \le 7 \) входит в ОДЗ). (Это первая часть ответа).
• Система II (левая часть неотрицательна): \[ \begin{cases} 3x - 14 \ge 0, \\ (3x - 14)^2 < 4(x^2 - 17x + 70). \end{cases} \]
• Из первого: \( x \ge \frac{14}{3} \approx 4,67 \).
• Из второго: \( 9x^2 - 84x + 196 < 4x^2 - 68x + 280 \) \( \implies 5x^2 - 16x - 84 < 0 \).
• Корни \( 5x^2 - 16x - 84 = 0 \): \( D = (-16)^2 - 4(5)(-84) = 256 + 1680 = 1936 \). \( \sqrt{1936} = 44 \). \( x_{1,2} = \frac{16 \pm 44}{10} \). \( x_1 = -2,8 \), \( x_2 = 6 \).
• Парабола ветвями вверх, поэтому решение неравенства \( 5x^2 - 16x - 84 < 0 \): \( -2,8 < x < 6 \).
• Находим пересечение условий Системы II с ОДЗ \( -3 \le x \le 7 \): \( \frac{14}{3} \le x \le 7 \) и \( -2,8 < x < 6 \). \( \frac{14}{3} \approx 4,67 \).
• Пересечение: \( \frac{14}{3} \le x < 6 \). (Это вторая часть ответа).

4. Объединение решений

• Объединяем решения: \( [-3; \frac{14}{3}) \cup [\frac{14}{3}; 6) \).
• Итоговый ответ: \( [-3; 6) \).

Ответ: \( [-3; 6) \).