ГДЗ: Упражнение 172 - § 10 (Иррациональные неравенства) - (Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы, Алимов Шавкат Арифджанович, Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна)

Графическое решение неравенства \( \sqrt{x} \ge x \)

Неравенство равносильно условию: \( \text{график функции } y_1 = \sqrt{x} \text{ лежит выше или совпадает с графиком функции } y_2 = x \).

1. Построение графиков

• График \( y_1 = \sqrt{x} \): Это верхняя ветвь параболы \( x = y^2 \), определенная при \( x \ge 0 \) и \( y \ge 0 \).
  
• График \( y_2 = x \): Это прямая, проходящая через начало координат под углом \( 45^\circ \) к оси \( Ox \).

2. Точки пересечения

• Найдем точки пересечения, решив уравнение \( \sqrt{x} = x \).
• Возводим в квадрат (при условии \( x \ge 0 \)): \( x = x^2 \implies x^2 - x = 0 \implies x(x - 1) = 0 \).
• Корни: \( x = 0 \) и \( x = 1 \). Точки пересечения: \( (0, 0) \) и \( (1, 1) \).

3. Анализ неравенства

• На интервале \( [0; 1] \) график \( y_1 = \sqrt{x} \) лежит выше графика \( y_2 = x \) (например, при \( x = 0,25 \), \( \sqrt{0,25} = 0,5 \), а \( 0,25 \) — \( 0,5 \ge 0,25 \)).
• На интервале \( [1; +\infty) \) график \( y_1 = \sqrt{x} \) лежит ниже графика \( y_2 = x \) (например, при \( x = 4 \), \( \sqrt{4} = 2 \), а \( 4 \) — \( 2 < 4 \)).

4. Вывод

• Неравенство \( \sqrt{x} \ge x \) выполняется, когда \( y_1 \ge y_2 \).
• Это происходит при \( 0 \le x \le 1 \).

Ответ: \( [0; 1] \).

Графическое решение неравенства \( \sqrt{x} < x \)

Неравенство равносильно условию: \( \text{график функции } y_1 = \sqrt{x} \text{ лежит строго ниже графика функции } y_2 = x \).

1. Область допустимых значений (ОДЗ)

• \( x \ge 0 \).

2. Точки пересечения

• Точки пересечения графиков \( y_1 = \sqrt{x} \) и \( y_2 = x \) — \( x = 0 \) и \( x = 1 \).

3. Анализ неравенства

• Из анализа в задании 172.1, график \( y_1 = \sqrt{x} \) лежит строго ниже графика \( y_2 = x \) на интервале \( (1; +\infty) \).
• В точках \( x = 0 \) и \( x = 1 \) графики совпадают, поэтому эти точки не являются решением строгого неравенства \( \sqrt{x} < x \).

4. Вывод

• Неравенство \( \sqrt{x} < x \) выполняется при \( x > 1 \).

Ответ: \( (1; +\infty) \).

Графическое решение неравенства \( \sqrt{x} > x - 2 \)

Неравенство равносильно условию: \( \text{график функции } y_1 = \sqrt{x} \text{ лежит строго выше графика функции } y_2 = x - 2 \).

1. Построение графиков

• График \( y_1 = \sqrt{x} \): Определен при \( x \ge 0 \).
• График \( y_2 = x - 2 \): Прямая линия (см. Рисунок 29 в учебнике).

2. Точки пересечения

• Решим уравнение \( \sqrt{x} = x - 2 \). ОДЗ: \( x \ge 0 \).
• Дополнительное условие (для возведения в квадрат): \( x - 2 \ge 0 \implies x \ge 2 \).
• Возводим в квадрат: \( x = (x - 2)^2 \implies x = x^2 - 4x + 4 \).
• \( x^2 - 5x + 4 = 0 \). Корни \( x_1 = 1 \), \( x_2 = 4 \).
• Учитывая условие \( x \ge 2 \), подходит только \( x = 4 \). Точка пересечения: \( (4, 2) \).

3. Анализ неравенства

• Рассмотрим интервалы в ОДЗ \( x \ge 0 \):
• Интервал \( [0; 2) \): Правая часть \( y_2 = x - 2 \) отрицательна. Так как \( y_1 = \sqrt{x} \ge 0 \), то \( y_1 > y_2 \) автоматически. Решение: \( [0; 2) \).
• Интервал \( [2; +\infty) \): Обе части неотрицательны. График \( y_1 \) находится выше \( y_2 \) до точки пересечения \( x = 4 \). \( \sqrt{x} > x - 2 \) при \( 2 \le x < 4 \).

4. Вывод

• Объединяем решения: \( [0; 2) \cup [2; 4) \).
• Итоговый ответ: \( [0; 4) \).

Ответ: \( [0; 4) \).

Графическое решение неравенства \( \sqrt{x} \le x - 2 \)

Неравенство равносильно условию: \( \text{график функции } y_1 = \sqrt{x} \text{ лежит ниже или совпадает с графиком функции } y_2 = x - 2 \).

1. Область допустимых значений (ОДЗ)

• \( x \ge 0 \).

2. Точки пересечения

• Точка пересечения графиков \( y_1 = \sqrt{x} \) и \( y_2 = x - 2 \) — \( x = 4 \).

3. Анализ неравенства

• Из анализа в задании 172.3, график \( y_1 = \sqrt{x} \) лежит ниже графика \( y_2 = x - 2 \) после точки пересечения \( x = 4 \).
• Учитывая, что в точке \( x=4 \) графики совпадают, искомое решение: \( x \ge 4 \).

Ответ: \( [4; +\infty) \).