ГДЗ: Упражнение 168 - § 10 (Иррациональные неравенства) - (Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы, Алимов Шавкат Арифджанович, Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна)

Решение иррационального неравенства

Неравенство вида \( \sqrt{f(x)} > g(x) \). Используем схему объединения двух систем.

1. Область допустимых значений (ОДЗ)

• \( x^2 - 1 \ge 0 \implies (x - 1)(x + 1) \ge 0 \).
• ОДЗ: \( x \in (-\infty; -1] \cup [1; +\infty) \).

2. Решение через две системы

• Система I (правая часть отрицательна): \[ \begin{cases} g(x) < 0, \\ f(x) \ge 0. \end{cases} \implies \begin{cases} x < 0, \\ x^2 - 1 \ge 0. \end{cases} \]
• Из второго неравенства (которое является ОДЗ): \( x \in (-\infty; -1] \cup [1; +\infty) \).
• Пересечение с условием \( x < 0 \): \( x \in (-\infty; -1] \). (Это первая часть ответа).
• Система II (правая часть неотрицательна): \[ \begin{cases} g(x) \ge 0, \\ f(x) > (g(x))^2. \end{cases} \implies \begin{cases} x \ge 0, \\ x^2 - 1 > x^2. \end{cases} \]
• Из второго неравенства: \( -1 > 0 \). Это неверное неравенство, которое не имеет решений: \( x \in \emptyset \).

3. Объединение решений

• Объединяем решения Системы I и Системы II: \( (-\infty; -1] \cup \emptyset \)
• Итоговый ответ: \( (-\infty; -1] \).

Ответ: \( x \le -1 \) или \( (-\infty; -1] \).

Решение иррационального неравенства

Неравенство вида \( \sqrt{f(x)} < a \), где \( a=1 > 0 \). Равносильно системе: \[ \begin{cases} f(x) \ge 0, \\ f(x) < a^2. \end{cases} \]

1. Равносильная система

• \[ \begin{cases} 1 - x^2 \ge 0, \\ 1 - x^2 < 1^2. \end{cases} \implies \begin{cases} x^2 \le 1, \\ 1 - x^2 < 1. \end{cases} \]
• Из первого неравенства: \( -1 \le x \le 1 \).
• Из второго неравенства: \( -x^2 < 0 \implies x^2 > 0 \). Это верно для всех \( x \ne 0 \).

2. Решение системы

• Необходимо найти пересечение \( [-1; 1] \) и \( x \ne 0 \).
• Пересечение: \( [-1; 0) \cup (0; 1] \).

Ответ: \( [-1; 0) \cup (0; 1] \).

Решение иррационального неравенства

Неравенство вида \( \sqrt{f(x)} > a \), где \( a=4 \ge 0 \).

1. Область допустимых значений (ОДЗ)

• \( 25 - x^2 \ge 0 \implies x^2 \le 25 \implies -5 \le x \le 5 \).

2. Возведение в квадрат

• Обе части неотрицательны, возводим в квадрат: \( (\sqrt{25 - x^2})^2 > 4^2 \)
• Получаем: \( 25 - x^2 > 16 \)
• Решаем: \( 25 - 16 > x^2 \implies 9 > x^2 \) или \( x^2 < 9 \).
• Следовательно: \( -3 < x < 3 \).

3. Учет ОДЗ

• Необходимо найти пересечение условия \( -3 < x < 3 \) и ОДЗ \( -5 \le x \le 5 \).
• Пересечение: \( (-3; 3) \) (так как \( (-3; 3) \) полностью входит в \( [-5; 5] \)).

Ответ: \( (-3; 3) \).

Решение иррационального неравенства

Неравенство вида \( \sqrt{f(x)} < a \), где \( a=4 > 0 \). Равносильно системе: \[ \begin{cases} f(x) \ge 0, \\ f(x) < a^2. \end{cases} \]

1. Равносильная система

• \[ \begin{cases} 25 - x^2 \ge 0, \\ 25 - x^2 < 4^2. \end{cases} \implies \begin{cases} x^2 \le 25, \\ 25 - x^2 < 16. \end{cases} \]
• Из первого неравенства: \( -5 \le x \le 5 \).
• Из второго неравенства: \( 25 - 16 < x^2 \implies 9 < x^2 \) или \( x^2 > 9 \).
• Следовательно: \( x < -3 \) или \( x > 3 \).

2. Решение системы

• Необходимо найти пересечение \( [-5; 5] \) и \( (-\infty; -3) \cup (3; +\infty) \).
• Пересечение: \( [-5; -3) \cup (3; 5] \).

Ответ: \( [-5; -3) \cup (3; 5] \).