ГДЗ: Упражнение 173 - § 10 (Иррациональные неравенства) - (Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы, Алимов Шавкат Арифджанович, Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна)

Графическое решение неравенства \( \sqrt{x} \le 2x \)

Неравенство равносильно условию: \( \text{график функции } y_1 = \sqrt{x} \text{ лежит ниже или совпадает с графиком функции } y_2 = 2x \).

1. Область допустимых значений (ОДЗ)

• \( x \ge 0 \).

2. Точки пересечения

• Решим уравнение \( \sqrt{x} = 2x \). Возводим в квадрат (при \( x \ge 0 \)): \( x = 4x^2 \implies 4x^2 - x = 0 \implies x(4x - 1) = 0 \).
• Корни: \( x = 0 \) и \( x = \frac{1}{4} \). Точки пересечения: \( (0, 0) \) и \( (\frac{1}{4}, \frac{1}{2}) \).

3. Анализ неравенства

• На интервале \( [0; \frac{1}{4}] \) график \( y_1 = \sqrt{x} \) лежит выше (например, \( x = \frac{1}{9} \): \( \sqrt{\frac{1}{9}} = \frac{1}{3} \), \( 2\cdot\frac{1}{9} = \frac{2}{9} \) — \( \frac{1}{3} > \frac{2}{9} \)).
• На интервале \( [\frac{1}{4}; +\infty) \) график \( y_1 = \sqrt{x} \) лежит ниже или совпадает (например, \( x = 1 \): \( \sqrt{1} = 1 \), \( 2\cdot 1 = 2 \) — \( 1 \le 2 \)).

4. Вывод

• Неравенство \( \sqrt{x} \le 2x \) выполняется при \( x \ge \frac{1}{4} \) и в точке \( x=0 \).

Ответ: \( x = 0 \text{ и } x \ge \frac{1}{4} \) или \( \{0\} \cup [\frac{1}{4}; +\infty) \).

Графическое решение неравенства \( \sqrt{x} > 0,5x \)

Неравенство равносильно условию: \( \text{график функции } y_1 = \sqrt{x} \text{ лежит строго выше графика функции } y_2 = 0,5x \).

1. Область допустимых значений (ОДЗ)

• \( x \ge 0 \).

2. Точки пересечения

• Решим уравнение \( \sqrt{x} = 0,5x \). Возводим в квадрат (при \( x \ge 0 \)): \( x = 0,25x^2 \implies 0,25x^2 - x = 0 \implies x(0,25x - 1) = 0 \).
• Корни: \( x = 0 \) и \( 0,25x = 1 \implies x = 4 \). Точки пересечения: \( (0, 0) \) и \( (4, 2) \).

3. Анализ неравенства

• График \( y_1 = \sqrt{x} \) лежит строго выше графика \( y_2 = 0,5x \) на интервале \( (0; 4) \) (например, \( x = 1 \): \( \sqrt{1} = 1 \), \( 0,5\cdot 1 = 0,5 \) — \( 1 > 0,5 \)).
• В точках \( x = 0 \) и \( x = 4 \) графики совпадают, поэтому эти точки не являются решением строгого неравенства.

4. Вывод

• Неравенство \( \sqrt{x} > 0,5x \) выполняется при \( 0 < x < 4 \).

Ответ: \( (0; 4) \).

Графическое решение неравенства \( \sqrt{x} \ge 2x - 1 \)

Неравенство равносильно условию: \( \text{график функции } y_1 = \sqrt{x} \text{ лежит выше или совпадает с графиком функции } y_2 = 2x - 1 \).

1. Область допустимых значений (ОДЗ)

• \( x \ge 0 \).

2. Точки пересечения

• Решим уравнение \( \sqrt{x} = 2x - 1 \). ОДЗ: \( x \ge 0 \). Дополнительное условие: \( 2x - 1 \ge 0 \implies x \ge 0,5 \).
• Возводим в квадрат: \( x = (2x - 1)^2 \implies x = 4x^2 - 4x + 1 \).
• \( 4x^2 - 5x + 1 = 0 \). Корни \( x_1 = 1 \), \( x_2 = \frac{1}{4} \) (по Виету для приведенного \( x^2 - \frac{5}{4}x + \frac{1}{4} = 0 \)).
• Учитывая условие \( x \ge 0,5 \), подходит только \( x = 1 \). Точка пересечения: \( (1, 1) \).

3. Анализ неравенства

• Рассмотрим интервалы в ОДЗ \( x \ge 0 \):
• Интервал \( [0; 0,5) \): Правая часть \( y_2 = 2x - 1 \) отрицательна. Так как \( y_1 = \sqrt{x} \ge 0 \), то \( y_1 \ge y_2 \) автоматически. Решение: \( [0; 0,5) \).
• Интервал \( [0,5; +\infty) \): Обе части неотрицательны. График \( y_1 \) находится выше или совпадает с \( y_2 \) до точки пересечения \( x = 1 \). \( \sqrt{x} \ge 2x - 1 \) при \( 0,5 \le x \le 1 \).

4. Вывод

• Объединяем решения: \( [0; 0,5) \cup [0,5; 1] \).
• Итоговый ответ: \( [0; 1] \).

Ответ: \( [0; 1] \).

Графическое решение неравенства \( \sqrt{x} \ge x^2 \)

Неравенство равносильно условию: \( \text{график функции } y_1 = \sqrt{x} \text{ лежит выше или совпадает с графиком функции } y_2 = x^2 \).

1. Область допустимых значений (ОДЗ)

• \( x \ge 0 \).

2. Точки пересечения

• Решим уравнение \( \sqrt{x} = x^2 \). Возводим в квадрат (при \( x \ge 0 \)): \( x = x^4 \implies x^4 - x = 0 \implies x(x^3 - 1) = 0 \).
• Корни: \( x = 0 \) и \( x^3 = 1 \implies x = 1 \). Точки пересечения: \( (0, 0) \) и \( (1, 1) \).

3. Анализ неравенства

• На интервале \( [0; 1] \) график \( y_1 = \sqrt{x} \) лежит выше или совпадает с графиком \( y_2 = x^2 \) (например, \( x = 0,5 \): \( \sqrt{0,5} \approx 0,707 \), \( 0,5^2 = 0,25 \) — \( 0,707 \ge 0,25 \)).
• На интервале \( [1; +\infty) \) график \( y_1 = \sqrt{x} \) лежит ниже графика \( y_2 = x^2 \) (например, \( x = 4 \): \( \sqrt{4} = 2 \), \( 4^2 = 16 \) — \( 2 < 16 \)).

4. Вывод

• Неравенство \( \sqrt{x} \ge x^2 \) выполняется при \( 0 \le x \le 1 \).

Ответ: \( [0; 1] \).