ГДЗ: Упражнение 170 - § 10 (Иррациональные неравенства) - (Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы, Алимов Шавкат Арифджанович, Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна)

Решение иррационального неравенства

Неравенство вида \( \sqrt{f(x)} > g(x) \). Используем схему объединения двух систем.

1. Область допустимых значений (ОДЗ)

• \( x + 2 \ge 0 \implies x \ge -2 \).

2. Решение через две системы

• Система I (правая часть отрицательна): \[ \begin{cases} g(x) < 0, \\ f(x) \ge 0. \end{cases} \implies \begin{cases} 4 - x < 0, \\ x + 2 \ge 0. \end{cases} \]
• Из первого неравенства: \( 4 < x \) или \( x > 4 \).
• Из второго неравенства (ОДЗ): \( x \ge -2 \).
• Пересечение: \( x > 4 \). (Это первая часть ответа).
• Система II (правая часть неотрицательна): \[ \begin{cases} g(x) \ge 0, \\ f(x) > (g(x))^2. \end{cases} \implies \begin{cases} 4 - x \ge 0, \\ x + 2 > (4 - x)^2. \end{cases} \]
• Из первого неравенства: \( x \le 4 \).
• Из второго неравенства: \( x + 2 > 16 - 8x + x^2 \) \( \implies 0 > x^2 - 9x + 14 \) или \( x^2 - 9x + 14 < 0 \).
• Корни квадратного уравнения \( x^2 - 9x + 14 = 0 \): \( x_1 = 2 \), \( x_2 = 7 \) (по Виету).
• Парабола ветвями вверх, поэтому решение неравенства \( x^2 - 9x + 14 < 0 \): \( 2 < x < 7 \).
• Находим пересечение условий Системы II: \( x \le 4 \), \( x \ge -2 \) (ОДЗ), и \( 2 < x < 7 \).
• Пересечение: \( 2 < x \le 4 \). (Это вторая часть ответа).

3. Объединение решений

• Объединяем решения Системы I и Системы II: \( (4; +\infty) \cup (2; 4] \).
• Итоговый ответ: \( (2; +\infty) \).

Ответ: \( x > 2 \) или \( (2; +\infty) \).

Решение иррационального неравенства

Неравенство вида \( \sqrt{f(x)} \ge \sqrt{g(x)} \).

1. Равносильная система

• Данное неравенство равносильно системе: \[ \begin{cases} g(x) \ge 0, \\ f(x) \ge g(x). \end{cases} \] (Условие \( f(x) \ge 0 \) является следствием второго неравенства.)
• В нашем случае: \[ \begin{cases} x + 1 \ge 0, \\ 3 + 2x \ge x + 1. \end{cases} \]

2. Решение системы

• Из первого неравенства: \( x \ge -1 \).
• Из второго неравенства: \( 2x - x \ge 1 - 3 \implies x \ge -2 \).
• Пересечение: \( x \ge -1 \).

Ответ: \( x \ge -1 \) или \( [-1; +\infty) \).

Решение иррационального неравенства

Перепишем неравенство в виде \( \sqrt{3x - 2} < 2x \).

1. Область допустимых значений (ОДЗ)

• \( 3x - 2 \ge 0 \implies 3x \ge 2 \implies x \ge \frac{2}{3} \).

2. Равносильная система

• Неравенство вида \( \sqrt{f(x)} < g(x) \) равносильно системе: \[ \begin{cases} f(x) \ge 0, \\ g(x) > 0, \\ f(x) < (g(x))^2. \end{cases} \]
• В нашем случае: \[ \begin{cases} 3x - 2 \ge 0, \\ 2x > 0, \\ 3x - 2 < (2x)^2. \end{cases} \]
• Из первого неравенства (ОДЗ): \( x \ge \frac{2}{3} \).
• Из второго неравенства: \( x > 0 \).
• Из третьего неравенства: \( 3x - 2 < 4x^2 \implies 0 < 4x^2 - 3x + 2 \) или \( 4x^2 - 3x + 2 > 0 \).

3. Решение третьего неравенства

• Для \( 4x^2 - 3x + 2 = 0 \) найдем дискриминант: \( D = (-3)^2 - 4(4)(2) = 9 - 32 = -23 \).
• Поскольку \( D < 0 \) и коэффициент при \( x^2 \) положителен \( (4>0) \), квадратный трехчлен всегда положителен. Решение: \( x \in (-\infty; +\infty) \).

4. Решение системы

• Необходимо найти пересечение \( x \ge \frac{2}{3} \), \( x > 0 \) и \( x \in (-\infty; +\infty) \).
• Пересечение: \( x \ge \frac{2}{3} \).

Ответ: \( x \ge \frac{2}{3} \) или \( [\frac{2}{3}; +\infty) \).

Решение иррационального неравенства

Неравенство вида \( \sqrt{f(x)} < g(x) \). Равносильно системе:

1. Равносильная система

• \[ \begin{cases} 5x + 4 \ge 0, \\ 2x + 5 > 0, \\ 5x + 4 < (2x + 5)^2. \end{cases} \]
• Из первого неравенства (ОДЗ): \( 5x \ge -4 \implies x \ge -0,8 \).
• Из второго неравенства: \( 2x > -5 \implies x > -2,5 \).
• Из третьего неравенства: \( 5x + 4 < 4x^2 + 20x + 25 \) \( \implies 0 < 4x^2 + 15x + 21 \) или \( 4x^2 + 15x + 21 > 0 \).

2. Решение третьего неравенства

• Для \( 4x^2 + 15x + 21 = 0 \) найдем дискриминант: \( D = 15^2 - 4(4)(21) = 225 - 336 = -111 \).
• Поскольку \( D < 0 \) и коэффициент при \( x^2 \) положителен \( (4>0) \), квадратный трехчлен всегда положителен. Решение: \( x \in (-\infty; +\infty) \).

3. Решение системы

• Необходимо найти пересечение: \( x \ge -0,8 \), \( x > -2,5 \) и \( x \in (-\infty; +\infty) \).
• Пересечение: \( x \ge -0,8 \).

Ответ: \( x \ge -0,8 \) или \( [-\frac{4}{5}; +\infty) \).

Решение иррационального неравенства

Неравенство вида \( \sqrt{f(x)} > g(x) \). Используем схему объединения двух систем.

1. Область допустимых значений (ОДЗ)

• \( 5x + 11 \ge 0 \implies 5x \ge -11 \implies x \ge -2,2 \).

2. Решение через две системы

• Система I (правая часть отрицательна): \[ \begin{cases} x + 3 < 0, \\ 5x + 11 \ge 0. \end{cases} \implies \begin{cases} x < -3, \\ x \ge -2,2. \end{cases} \]
• Пересечение: \( \emptyset \) (так как нет чисел, которые одновременно меньше -3 и больше или равны -2,2).
• Система II (правая часть неотрицательна): \[ \begin{cases} x + 3 \ge 0, \\ 5x + 11 > (x + 3)^2. \end{cases} \implies \begin{cases} x \ge -3, \\ 5x + 11 > x^2 + 6x + 9. \end{cases} \]
• Из второго неравенства: \( 0 > x^2 + x - 2 \) или \( x^2 + x - 2 < 0 \).
• Корни \( x^2 + x - 2 = 0 \): \( x_1 = -2 \), \( x_2 = 1 \).
• Парабола ветвями вверх, поэтому решение неравенства \( x^2 + x - 2 < 0 \): \( -2 < x < 1 \).
• Находим пересечение условий Системы II с ОДЗ: \( x \ge -3 \), \( x \ge -2,2 \) и \( -2 < x < 1 \).
• Пересечение: \( -2 < x < 1 \) (так как \( x \ge -2,2 \) и \( x \ge -3 \) выполняются автоматически).

3. Объединение решений

• Объединяем решения Системы I и Системы II: \( \emptyset \cup (-2; 1) \).
• Итоговый ответ: \( (-2; 1) \).

Ответ: \( (-2; 1) \).

Решение иррационального неравенства

Неравенство вида \( \sqrt{f(x)} < \sqrt{g(x)} \).

1. Равносильная система

• Данное неравенство равносильно системе: \[ \begin{cases} f(x) \ge 0, \\ g(x) > f(x). \end{cases} \] (Условие \( g(x) \ge 0 \) является следствием второго неравенства.)
• В нашем случае: \[ \begin{cases} 3 - x \ge 0, \\ 3x - 5 > 3 - x. \end{cases} \]

2. Решение системы

• Из первого неравенства: \( 3 \ge x \) или \( x \le 3 \).
• Из второго неравенства: \( 3x + x > 3 + 5 \implies 4x > 8 \implies x > 2 \).
• Пересечение: \( 2 < x \le 3 \).

Ответ: \( (2; 3] \).