ГДЗ: Упражнение 174 - § 10 (Иррациональные неравенства) - (Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы, Алимов Шавкат Арифджанович, Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна)

Решение иррационального неравенства

Неравенство вида \( \sqrt{f(x)} > g(x) \). Используем схему объединения двух систем.

1. Область допустимых значений (ОДЗ)

• \( x^2 - 3x + 2 \ge 0 \implies (x - 1)(x - 2) \ge 0 \).
• ОДЗ: \( x \in (-\infty; 1] \cup [2; +\infty) \).

2. Решение через две системы

• Система I (правая часть отрицательна): \[ \begin{cases} g(x) < 0, \\ f(x) \ge 0. \end{cases} \implies \begin{cases} x + 3 < 0, \\ x^2 - 3x + 2 \ge 0. \end{cases} \]
• Из первого неравенства: \( x < -3 \).
• Из второго неравенства (ОДЗ): \( x \le 1 \) или \( x \ge 2 \).
• Пересечение: \( x < -3 \) (так как \( (-\infty; -3) \) полностью входит в \( x \le 1 \)). (Это первая часть ответа).
• Система II (правая часть неотрицательна): \[ \begin{cases} g(x) \ge 0, \\ f(x) > (g(x))^2. \end{cases} \implies \begin{cases} x + 3 \ge 0, \\ x^2 - 3x + 2 > (x + 3)^2. \end{cases} \]
• Из первого неравенства: \( x \ge -3 \).
• Из второго неравенства: \( x^2 - 3x + 2 > x^2 + 6x + 9 \) \( \implies -3x + 2 > 6x + 9 \) \( \implies -7 > 9x \) или \( x < -\frac{7}{9} \).
• Находим пересечение условий Системы II с ОДЗ: \( x \ge -3 \), \( x < -\frac{7}{9} \) и \( (x \le 1 \text{ или } x \ge 2) \).
• Пересечение: \( [-3; -\frac{7}{9}) \) (так как \( -3 \le x < -\frac{7}{9} \) полностью входит в \( x \le 1 \)). (Это вторая часть ответа).

3. Объединение решений

• Объединяем решения: \( (-\infty; -3) \cup [-3; -\frac{7}{9}) \).
• Итоговый ответ: \( (-\infty; -\frac{7}{9}) \).

Ответ: \( (-\infty; -\frac{7}{9}) \).

Решение иррационального неравенства

Неравенство вида \( \sqrt{f(x)} > g(x) \). Используем схему объединения двух систем.

1. Область допустимых значений (ОДЗ)

• \( 2x^2 - 7x - 4 \ge 0 \). Корни \( 2x^2 - 7x - 4 = 0 \): \( D = 49 - 4(2)(-4) = 81 \). \( x_{1,2} = \frac{7 \pm 9}{4} \). \( x_1 = -0,5 \), \( x_2 = 4 \).
• ОДЗ: \( x \in (-\infty; -0,5] \cup [4; +\infty) \).

2. Решение через две системы

• Система I (правая часть отрицательна): \[ \begin{cases} g(x) < 0, \\ f(x) \ge 0. \end{cases} \implies \begin{cases} -x - \frac{1}{4} < 0, \\ 2x^2 - 7x - 4 \ge 0. \end{cases} \]
• Из первого неравенства: \( -\frac{1}{4} < x \) или \( x > -0,25 \).
• Из второго неравенства (ОДЗ): \( x \le -0,5 \) или \( x \ge 4 \).
• Пересечение: \( x \ge 4 \) (так как \( (-0,25; +\infty) \cap ( (-\infty; -0,5] \cup [4; +\infty) ) = [4; +\infty) \)). (Это первая часть ответа).
• Система II (правая часть неотрицательна): \[ \begin{cases} g(x) \ge 0, \\ f(x) > (g(x))^2. \end{cases} \implies \begin{cases} -x - \frac{1}{4} \ge 0, \\ 2x^2 - 7x - 4 > (-x - \frac{1}{4})^2. \end{cases} \]
• Из первого неравенства: \( -x \ge \frac{1}{4} \implies x \le -0,25 \).
• Из второго неравенства: \( 2x^2 - 7x - 4 > x^2 + \frac{1}{2}x + \frac{1}{16} \) \( \implies x^2 - \frac{15}{2}x - 4 - \frac{1}{16} > 0 \) \( \implies x^2 - 7,5x - 4,0625 > 0 \). \( 16x^2 - 120x - 65 > 0 \).
• Корни \( 16x^2 - 120x - 65 = 0 \): \( D = 120^2 - 4(16)(-65) = 14400 + 4160 = 18560 \). \( \sqrt{18560} \approx 136,249 \). \( x_{1,2} = \frac{120 \pm \sqrt{18560}}{32} \). \( x_1 \approx -0,5078 \), \( x_2 \approx 8,0078 \).
• Решение неравенства: \( x < x_1 \) или \( x > x_2 \).
• Находим пересечение условий Системы II с ОДЗ: \( x \le -0,25 \), \( (x \le -0,5 \text{ или } x \ge 4) \), и \( (x < -0,5078 \text{ или } x > 8,0078) \).
• Пересечение: \( x < x_1 \) (так как \( -0,5078 < -0,5 < -0,25 \) и \( x_1 \le -0,5 \) выполняется автоматически). \( (-\infty; \frac{120 - \sqrt{18560}}{32}) \). (Это вторая часть ответа).

3. Объединение решений

• Объединяем решения: \( [4; +\infty) \cup (-\infty; x_1) \).
• Итоговый ответ: \( (-\infty; \frac{120 - \sqrt{18560}}{32}) \cup [4; +\infty) \).

Ответ: \( (-\infty; \frac{120 - \sqrt{18560}}{32}) \cup [4; +\infty) \).