ГДЗ: Упражнение 167 - § 10 (Иррациональные неравенства) - (Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы, Алимов Шавкат Арифджанович, Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна)

Решение иррационального неравенства

Неравенство вида \( \sqrt{f(x)} > a \), где \( a=3 \ge 0 \).

1. Область допустимых значений (ОДЗ)

• \( x - 2 \ge 0 \implies x \ge 2 \).

2. Возведение в квадрат

• Обе части неотрицательны, возводим в квадрат: \( (\sqrt{x - 2})^2 > 3^2 \)
• Получаем: \( x - 2 > 9 \)
• Решаем: \( x > 9 + 2 \implies x > 11 \).

3. Учет ОДЗ

• Пересечение условия \( x > 11 \) и ОДЗ \( x \ge 2 \) дает: \( x > 11 \).

Ответ: \( x > 11 \) или \( (11; +\infty) \).

Решение иррационального неравенства

Неравенство вида \( \sqrt{f(x)} < a \), где \( a=1 > 0 \). Равносильно системе: \[ \begin{cases} f(x) \ge 0, \\ f(x) < a^2. \end{cases} \]

1. Равносильная система

• \[ \begin{cases} x - 2 \ge 0, \\ x - 2 < 1^2. \end{cases} \implies \begin{cases} x \ge 2, \\ x - 2 < 1. \end{cases} \]
• Из второго неравенства: \( x < 1 + 2 \implies x < 3 \).

2. Решение системы

• Пересечение: \( 2 \le x < 3 \).

Ответ: \( [2; 3) \).

Решение иррационального неравенства

Неравенство вида \( \sqrt{f(x)} < a \), где \( a=5 > 0 \). Равносильно системе: \[ \begin{cases} f(x) \ge 0, \\ f(x) < a^2. \end{cases} \]

1. Равносильная система

• \[ \begin{cases} 3 - x \ge 0, \\ 3 - x < 5^2. \end{cases} \implies \begin{cases} 3 \ge x, \\ 3 - x < 25. \end{cases} \]
• Из первого неравенства: \( x \le 3 \).
• Из второго неравенства: \( 3 - 25 < x \implies -22 < x \).

2. Решение системы

• Пересечение: \( -22 < x \le 3 \).

Ответ: \( (-22; 3] \).

Решение иррационального неравенства

Неравенство вида \( \sqrt{f(x)} > a \), где \( a=3 \ge 0 \).

1. Область допустимых значений (ОДЗ)

• \( 4 - x \ge 0 \implies 4 \ge x \) или \( x \le 4 \).

2. Возведение в квадрат

• Обе части неотрицательны, возводим в квадрат: \( (\sqrt{4 - x})^2 > 3^2 \)
• Получаем: \( 4 - x > 9 \)
• Решаем: \( 4 - 9 > x \implies -5 > x \) или \( x < -5 \).

3. Учет ОДЗ

• Пересечение условия \( x < -5 \) и ОДЗ \( x \le 4 \) дает: \( x < -5 \) (так как если \( x < -5 \), то автоматически \( x \le 4 \)).

Ответ: \( x < -5 \) или \( (-\infty; -5) \).

Решение иррационального неравенства

Неравенство вида \( \sqrt{f(x)} > a \), где \( a=4 \ge 0 \).

1. Область допустимых значений (ОДЗ)

• \( 2x - 3 \ge 0 \implies 2x \ge 3 \implies x \ge 1,5 \).

2. Возведение в квадрат

• Обе части неотрицательны, возводим в квадрат: \( (\sqrt{2x - 3})^2 > 4^2 \)
• Получаем: \( 2x - 3 > 16 \)
• Решаем: \( 2x > 16 + 3 \implies 2x > 19 \implies x > \frac{19}{2} \) или \( x > 9,5 \).

3. Учет ОДЗ

• Пересечение условия \( x > 9,5 \) и ОДЗ \( x \ge 1,5 \) дает: \( x > 9,5 \).

Ответ: \( x > 9,5 \) или \( (9,5; +\infty) \).

Решение иррационального неравенства

Неравенство вида \( \sqrt{f(x)} \ge a \), где \( a=2 \ge 0 \).

1. Область допустимых значений (ОДЗ)

• \( x + 1 \ge 0 \implies x \ge -1 \).

2. Возведение в квадрат

• Обе части неотрицательны, возводим в квадрат: \( (\sqrt{x + 1})^2 \ge 2^2 \)
• Получаем: \( x + 1 \ge 4 \)
• Решаем: \( x \ge 4 - 1 \implies x \ge 3 \).

3. Учет ОДЗ

• Пересечение условия \( x \ge 3 \) и ОДЗ \( x \ge -1 \) дает: \( x \ge 3 \).

Ответ: \( x \ge 3 \) или \( [3; +\infty) \).

Решение иррационального неравенства

Неравенство вида \( \sqrt{f(x)} < a \), где \( a=5 > 0 \). Равносильно системе: \[ \begin{cases} f(x) \ge 0, \\ f(x) < a^2. \end{cases} \]

1. Равносильная система

• \[ \begin{cases} 3x - 5 \ge 0, \\ 3x - 5 < 5^2. \end{cases} \implies \begin{cases} 3x \ge 5, \\ 3x - 5 < 25. \end{cases} \]
• Из первого неравенства: \( x \ge \frac{5}{3} \) или \( x \ge 1 \frac{2}{3} \).
• Из второго неравенства: \( 3x < 25 + 5 \implies 3x < 30 \implies x < 10 \).

2. Решение системы

• Пересечение: \( \frac{5}{3} \le x < 10 \).

Ответ: \( [\frac{5}{3}; 10) \).

Решение иррационального неравенства

Неравенство вида \( \sqrt{f(x)} < a \), где \( a=\frac{1}{2} > 0 \). Равносильно системе: \[ \begin{cases} f(x) \ge 0, \\ f(x) < a^2. \end{cases} \]

1. Равносильная система

• \[ \begin{cases} 4x + 5 \ge 0, \\ 4x + 5 < (\frac{1}{2})^2. \end{cases} \implies \begin{cases} 4x \ge -5, \\ 4x + 5 < \frac{1}{4}. \end{cases} \]
• Из первого неравенства: \( x \ge -\frac{5}{4} \) или \( x \ge -1,25 \).
• Из второго неравенства: \( 4x < \frac{1}{4} - 5 \implies 4x < \frac{1 - 20}{4} \implies 4x < -\frac{19}{4} \).
• Делим на 4: \( x < -\frac{19}{16} \) или \( x < -1 \frac{3}{16} \).

2. Решение системы

• Сравниваем границы: \( -\frac{5}{4} = -\frac{20}{16} \).
• Пересечение: \( -\frac{20}{16} \le x < -\frac{19}{16} \).

Ответ: \( [-\frac{5}{4}; -\frac{19}{16}) \).