ГДЗ: Упражнение 166 - § 10 (Иррациональные неравенства) - (Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы, Алимов Шавкат Арифджанович, Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна)

Решение иррационального неравенства

Неравенство имеет вид \( \sqrt{f(x)} > a \), где \( a \ge 0 \). В данном случае \( f(x) = x \) и \( a = 2 \).

1. Область допустимых значений (ОДЗ)

• Подкоренное выражение должно быть неотрицательным: \( x \ge 0 \).

2. Возведение в квадрат

• Так как обе части неравенства \( \sqrt{x} > 2 \) неотрицательны (левая часть по определению корня, правая часть \( 2 > 0 \)), возводим обе части в квадрат: \( (\sqrt{x})^2 > 2^2 \)
• Получаем: \( x > 4 \).

3. Учет ОДЗ

• Необходимо найти пересечение условия \( x > 4 \) и ОДЗ \( x \ge 0 \).
• Пересечение: \( x > 4 \) (так как если \( x > 4 \), то автоматически \( x \ge 0 \)).

Ответ: \( x > 4 \) или \( (4; +\infty) \).

Решение иррационального неравенства

Неравенство имеет вид \( \sqrt{f(x)} < a \), где \( a \ge 0 \). В данном случае \( f(x) = x \) и \( a = 3 \).

1. Равносильная система

• Данное неравенство равносильно системе: \[ \begin{cases} f(x) \ge 0, \\ f(x) < a^2. \end{cases} \]
• В нашем случае: \[ \begin{cases} x \ge 0, \\ x < 3^2. \end{cases} \implies \begin{cases} x \ge 0, \\ x < 9. \end{cases} \]

2. Решение системы

• Пересечение: \( 0 \le x < 9 \).

Ответ: \( 0 \le x < 9 \) или \( [0; 9) \).

Решение иррационального неравенства

Неравенство содержит корень нечетной степени \( (n=3) \).

1. Возведение в нечетную степень

• При возведении обеих частей неравенства в нечетную степень (в данном случае в куб) получается неравенство, равносильное исходному. ОДЗ не требуется, так как под корнем нечетной степени может стоять любое число.
• Возводим в куб: \( (\sqrt[3]{x})^3 \ge 1^3 \)
• Получаем: \( x \ge 1 \).

Ответ: \( x \ge 1 \) или \( [1; +\infty) \).

Решение иррационального неравенства

Неравенство содержит корень нечетной степени \( (n=3) \).

1. Возведение в нечетную степень

• Возводим обе части неравенства в куб: \( (\sqrt[3]{2x})^3 < 3^3 \)
• Получаем: \( 2x < 27 \)
• Делим на 2: \( x < \frac{27}{2} \) или \( x < 13,5 \).

Ответ: \( x < 13,5 \) или \( (-\infty; 13,5) \).

Решение иррационального неравенства

Неравенство вида \( \sqrt{f(x)} > a \), где \( a \ge 0 \).

1. Область допустимых значений (ОДЗ)

• \( 3x \ge 0 \implies x \ge 0 \).

2. Возведение в квадрат

• Так как обе части неотрицательны, возводим в квадрат: \( (\sqrt{3x})^2 > 1^2 \)
• Получаем: \( 3x > 1 \)
• Делим на 3: \( x > \frac{1}{3} \).

3. Учет ОДЗ

• Пересечение условия \( x > \frac{1}{3} \) и ОДЗ \( x \ge 0 \) дает: \( x > \frac{1}{3} \).

Ответ: \( x > \frac{1}{3} \) или \( (\frac{1}{3}; +\infty) \).

Решение иррационального неравенства

Неравенство имеет вид \( \sqrt{f(x)} \le a \), где \( a \ge 0 \). Равносильно системе:

1. Равносильная система

• \[ \begin{cases} f(x) \ge 0, \\ f(x) \le a^2. \end{cases} \]
• В нашем случае: \[ \begin{cases} 2x \ge 0, \\ 2x \le 2^2. \end{cases} \implies \begin{cases} x \ge 0, \\ 2x \le 4. \end{cases} \]

2. Решение системы

• Из второго неравенства: \( x \le 2 \).
• Пересечение: \( 0 \le x \le 2 \).

Ответ: \( [0; 2] \).