ГДЗ: Упражнение 121 - Параграф § 6 (Степенная функция, её свойства и график) - (Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы, Алимов Шавкат Арифджанович, Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна)

121 упражнение:

Найти наибольшее и наименьшее значения функции на заданном отрезке:

1) \( y = x^4, x \in [-1; 2] \)

Ответ

Шаг 1: Анализ функции.

Функция \( y = x^4 \) является четной и имеет глобальный минимум в точке \( x = 0 \), равный \( y(0) = 0 \).
Поскольку отрезок \( [-1; 2] \) содержит \( x=0 \), наименьшее значение на отрезке равно \( 0 \).

Шаг 2: Нахождение наибольшего значения.

Наибольшее значение на отрезке достигается на одном из его концов. Сравним значения в \( x=-1 \) и \( x=2 \).
\( y(-1) = (-1)^4 = 1 \).
\( y(2) = 2^4 = 16 \).
Наибольшее значение: \( \max y = 16 \).

Ответ: Наибольшее значение \( 16 \), наименьшее значение \( 0 \).

2) \( y = x^{-2}, x \in [1; 4] \)

Ответ

Шаг 1: Анализ функции.

Функция \( y = x^{-2} \) имеет показатель \( p = -2 < 0 \), поэтому на промежутке \( (0; +\infty) \) она является убывающей.
Отрезок \( [1; 4] \) лежит в промежутке возрастания.

Шаг 2: Нахождение значений на концах отрезка.

Так как функция убывает, наибольшее значение будет в левом конце отрезка, а наименьшее — в правом.
Наибольшее значение: \( y(1) = 1^{-2} = 1 \).
Наименьшее значение: \( y(4) = 4^{-2} = \frac{1}{4^2} = \frac{1}{16} \).

Ответ: Наибольшее значение \( 1 \), наименьшее значение \( \frac{1}{16} \).

3) \( y = x^{-1}, x \in [-3; -1] \)

Ответ

Шаг 1: Анализ функции.

Функция \( y = x^{-1} = \frac{1}{x} \) имеет показатель \( p = -1 < 0 \).
На промежутке \( (-\infty; 0) \) функция является убывающей. Отрезок \( [-3; -1] \) лежит в этом промежутке.

Шаг 2: Нахождение значений на концах отрезка.

Так как функция убывает, наибольшее значение будет в левом конце отрезка, а наименьшее — в правом.
Наибольшее значение: \( y(-3) = (-3)^{-1} = -\frac{1}{3} \).
Наименьшее значение: \( y(-1) = (-1)^{-1} = -1 \).

Ответ: Наибольшее значение \( -\frac{1}{3} \), наименьшее значение \( -1 \).

4) \( y = x^7, x \in [-2; 3] \)

Ответ

Шаг 1: Анализ функции.

Функция \( y = x^7 \) имеет показатель \( p = 7 > 0 \). Степенная функция с положительным нечетным показателем возрастает на всей области определения \( (-\infty; +\infty) \).

Шаг 2: Нахождение значений на концах отрезка.

Так как функция возрастает, наименьшее значение будет в левом конце отрезка, а наибольшее — в правом.
Наименьшее значение: \( y(-2) = (-2)^7 = -128 \).
Наибольшее значение: \( y(3) = 3^7 = 2187 \).

Ответ: Наибольшее значение \( 2187 \), наименьшее значение \( -128 \).

Что применять при решении

Степенная функция

Функция вида \( y = x^p \), где \( p \) — заданное действительное число. Свойства функции зависят от свойств степени с действительным показателем.

\( y = x^p \)

Функция, ограниченная снизу

Функция \( y = f(x) \), определенная на множестве \( X \), называется ограниченной снизу на множестве \( X \), если существует число \( C_1 \) такое, что для любого \( x \in X \) выполняется неравенство \( f(x) \ge C_1 \).

\( f(x) \ge C_1 \)

Функция, ограниченная сверху

Функция \( y = f(x) \), определенная на множестве \( X \), называется ограниченной сверху на множестве \( X \), если существует число \( C_2 \) такое, что для любого \( x \in X \) выполняется неравенство \( f(x) \le C_2 \).

\( f(x) \le C_2 \)

Монотонность степенной функции (при x > 0)

При \( x > 0 \) степенная функция \( y = x^p \) является:
1. Возрастающей, если \( p > 0 \).
2. Убывающей, если \( p < 0 \).

\( p > 0 \Rightarrow y \uparrow \text{ при } x > 0 \); \( p < 0 \Rightarrow y \downarrow \text{ при } x > 0 \)

Другие упражнения из параграфа § 6

119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130

Данные параграфа

К параграфу →

Глава: Глава 2
Параграф: § 6 — Степенная функция, её свойства и график
Учебник: Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы
Автор: Алимов Шавкат Арифджанович, Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна
Год: 2025

Уведомление об авторском праве и цитировании

ВНИМАНИЕ: Представленные фрагменты из учебных материалов используются исключительно в научно-образовательных целях в объеме, оправданном поставленной целью.

Данное использование осуществляется в рамках, установленных законодательством об авторском праве (в частности, нормами о свободном использовании произведения для образовательных целей).

В соответствии с законодательством, автор и источник заимствования указаны для каждого используемого фрагмента.