ГДЗ: Упражнение 127 - § 6 (Степенная функция, её свойства и график) - (Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы, Алимов Шавкат Арифджанович, Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна)
Изобразить схематически график функции и найти её область определения и множество значений; выяснить, является ли функция возрастающей (убывающей), ограниченной сверху (снизу):
1)
\( y = (x - 2)^3 \)
Ответ
Анализ функции:
График получен сдвигом графика \( y = x^3 \) на 2 единицы вправо.
Область определения: \( D(y) = (-\infty; +\infty) \).
Множество значений: \( E(y) = (-\infty; +\infty) \).
Функция возрастает на всем \( (-\infty; +\infty) \).
Функция не ограничена ни сверху, ни снизу.
2)
\( y = (x + 1)^6 \)
Ответ
Анализ функции:
График получен сдвигом графика \( y = x^6 \) на 1 единицу влево. Вершина в \((-1; 0)\).
Область определения: \( D(y) = (-\infty; +\infty) \).
Множество значений: \( E(y) = [0; +\infty) \).
Функция убывает на \( (-\infty; -1] \).
Функция возрастает на \( [-1; +\infty) \).
Функция ограничена снизу (\( y \ge 0 \)).
Функция не ограничена сверху.
3)
\( y = (x + 2)^{-2} \)
Ответ
Анализ функции:
График получен сдвигом графика \( y = x^{-2} \) на 2 единицы влево. Вертикальная асимптота \( x = -2 \), горизонтальная \( y = 0 \).
Функция убывает на \( (-\infty; 1) \) и на \( (1; +\infty) \).
Функция не ограничена ни сверху, ни снизу.
Что применять при решении
Степенная функция
Функция вида \( y = x^p \), где \( p \) — заданное действительное число. Свойства функции зависят от свойств степени с действительным показателем.
\( y = x^p \)
Функция, ограниченная снизу
Функция \( y = f(x) \), определенная на множестве \( X \), называется ограниченной снизу на множестве \( X \), если существует число \( C_1 \) такое, что для любого \( x \in X \) выполняется неравенство \( f(x) \ge C_1 \).
\( f(x) \ge C_1 \)
Функция, ограниченная сверху
Функция \( y = f(x) \), определенная на множестве \( X \), называется ограниченной сверху на множестве \( X \), если существует число \( C_2 \) такое, что для любого \( x \in X \) выполняется неравенство \( f(x) \le C_2 \).
\( f(x) \le C_2 \)
Монотонность степенной функции (при x > 0)
При \( x > 0 \) степенная функция \( y = x^p \) является: 1. Возрастающей, если \( p > 0 \). 2. Убывающей, если \( p < 0 \).
\( p > 0 \Rightarrow y \uparrow \text{ при } x > 0 \); \( p < 0 \Rightarrow y \downarrow \text{ при } x > 0 \)
Создать проектГотовый файл Word. Оплата после того, как увидите работу.
Уведомление об авторском праве и цитировании
ВНИМАНИЕ: Представленные фрагменты из учебных материалов
используются исключительно в научно-образовательных целях в объеме,
оправданном поставленной целью.
Данное использование осуществляется в рамках, установленных законодательством об авторском праве
(в частности, нормами о свободном использовании произведения для образовательных целей).
В соответствии с законодательством, автор и источник заимствования
указаны для каждого используемого фрагмента.
