ГДЗ: Упражнение 126 - § 6 (Степенная функция, её свойства и график) - (Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы, Алимов Шавкат Арифджанович, Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна)
1)
\( y = x^8 \) лежит выше (ниже) графика функции \( y = x \)
Ответ
Шаг 1: Составление неравенства.
График \( y = x^8 \) лежит выше графика \( y = x \), когда \( x^8 > x \).
\( x^8 - x > 0 \Rightarrow x(x^7 - 1) > 0 \).
Шаг 2: Метод интервалов.
Найдем корни выражения \( x(x^7 - 1) \): \( x = 0 \) или \( x^7 = 1 \Rightarrow x = 1 \).
Рассмотрим знаки выражения \( x(x^7 - 1) \) на интервалах: На \( (-\infty; 0) \): \( x < 0 \), \( x^7 - 1 < 0 \). Произведение \( ( - ) \cdot ( - ) = + \). Выше. На \( (0; 1) \): \( x > 0 \), \( x^7 - 1 < 0 \). Произведение \( ( + ) \cdot ( - ) = - \). Ниже. На \( (1; +\infty) \): \( x > 0 \), \( x^7 - 1 > 0 \). Произведение \( ( + ) \cdot ( + ) = + \). Выше.
Ответ: График \( y = x^8 \) лежит выше \( y = x \) на промежутках \( (-\infty; 0) \cup (1; +\infty) \). График лежит ниже \( y = x \) на промежутке \( (0; 1) \).
2)
\( y = x^{1/5} \) лежит выше (ниже) графика функции \( y = x \)
Ответ
Шаг 1: Область определения.
Функция \( y = x^{1/5} \) определена для всех \( x \in (-\infty; +\infty) \).
Однако, для сравнения удобно рассмотреть случай \( x > 0 \).
Шаг 2: Сравнение при \( x > 0 \).
График \( y = x^{1/5} \) лежит выше \( y = x \), когда \( x^{1/5} > x \). \( x^{1/5} - x > 0 \Rightarrow x(x^{-4/5} - 1) > 0 \).
Поскольку \( x > 0 \), неравенство эквивалентно \( x^{-4/5} - 1 > 0 \), или \( x^{-4/5} > 1 \).
\( x^{-4/5} > 1 \Rightarrow \frac{1}{\sqrt[5]{x^4}} > 1 \Rightarrow 1 > \sqrt[5]{x^4} \). Так как обе части положительны, возведем в 5-ю степень: \( 1^5 > (\sqrt[5]{x^4})^5 \Rightarrow 1 > x^4 \).
Так как \( x > 0 \), то \( 1 > x^4 \) выполняется для \( 0 < x < 1 \).
График лежит выше \( y = x \) на промежутке \( (0; 1) \).
График лежит ниже \( y = x \) на промежутке \( (1; +\infty) \).
Шаг 3: Сравнение при \( x \le 0 \).
При \( x = 0 \): \( 0^{1/5} = 0 \). Точки \((0, 0)\) совпадают.
При \( x < 0 \): \( y = x^{1/5} = \sqrt[5]{x} \) — отрицательное число. \( y = x \) — отрицательное число. Например, \( x = -32 \): \( (-32)^{1/5} = -2 \). \( y = -32 \). \( -2 > -32 \). Таким образом, \( x^{1/5} > x \) при \( x < 0 \). График выше на \( (-\infty; 0) \).
Ответ: График \( y = x^{1/5} \) лежит выше \( y = x \) на промежутках \( (-\infty; 0) \cup (0; 1) \). График лежит ниже \( y = x \) на промежутке \( (1; +\infty) \).
Что применять при решении
Степенная функция
Функция вида \( y = x^p \), где \( p \) — заданное действительное число. Свойства функции зависят от свойств степени с действительным показателем.
\( y = x^p \)
Функция, ограниченная снизу
Функция \( y = f(x) \), определенная на множестве \( X \), называется ограниченной снизу на множестве \( X \), если существует число \( C_1 \) такое, что для любого \( x \in X \) выполняется неравенство \( f(x) \ge C_1 \).
\( f(x) \ge C_1 \)
Функция, ограниченная сверху
Функция \( y = f(x) \), определенная на множестве \( X \), называется ограниченной сверху на множестве \( X \), если существует число \( C_2 \) такое, что для любого \( x \in X \) выполняется неравенство \( f(x) \le C_2 \).
\( f(x) \le C_2 \)
Монотонность степенной функции (при x > 0)
При \( x > 0 \) степенная функция \( y = x^p \) является: 1. Возрастающей, если \( p > 0 \). 2. Убывающей, если \( p < 0 \).
\( p > 0 \Rightarrow y \uparrow \text{ при } x > 0 \); \( p < 0 \Rightarrow y \downarrow \text{ при } x > 0 \)
Создать проектГотовый файл Word. Оплата после того, как увидите работу.
Уведомление об авторском праве и цитировании
ВНИМАНИЕ: Представленные фрагменты из учебных материалов
используются исключительно в научно-образовательных целях в объеме,
оправданном поставленной целью.
Данное использование осуществляется в рамках, установленных законодательством об авторском праве
(в частности, нормами о свободном использовании произведения для образовательных целей).
В соответствии с законодательством, автор и источник заимствования
указаны для каждого используемого фрагмента.
