ГДЗ: Упражнение 129 - § 6 (Степенная функция, её свойства и график) - (Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы, Алимов Шавкат Арифджанович, Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна)
Построить график функции и указать её область определения, множество значений и промежутки возрастания и убывания; выяснить, является ли функция ограниченной сверху (снизу):
1)
\( y = |x|^{1/3} \)
Ответ
Анализ функции:
График \( y = |x|^{1/3} \) получен из графика \( y = x^{1/3} \) отражением его части при \( x \ge 0 \) относительно оси \( Oy \) (четная функция).
Область определения: \( D(y) = (-\infty; +\infty) \).
Множество значений: \( E(y) = [0; +\infty) \).
Функция убывает на \( (-\infty; 0] \).
Функция возрастает на \( [0; +\infty) \).
Функция ограничена снизу (\( y \ge 0 \)).
Функция не ограничена сверху.
2)
\( y = |x|^{1/5} \)
Ответ
Анализ функции:
График \( y = |x|^{1/5} \) получен из графика \( y = x^{1/5} \) отражением его части при \( x \ge 0 \) относительно оси \( Oy \) (четная функция).
Область определения: \( D(y) = (-\infty; +\infty) \).
Множество значений: \( E(y) = [0; +\infty) \).
Функция убывает на \( (-\infty; 0] \).
Функция возрастает на \( [0; +\infty) \).
Функция ограничена снизу (\( y \ge 0 \)).
Функция не ограничена сверху.
3)
\( y = |x|^3 + 1 \)
Ответ
Анализ функции:
График \( y = |x|^3 + 1 \) получен из \( y = x^3 \) (при \( x \ge 0 \)) отражением относительно оси \( Oy \) и сдвигом вверх на 1. Вершина в \((0; 1)\).
Область определения: \( D(y) = (-\infty; +\infty) \).
Множество значений: \( E(y) = [1; +\infty) \).
Функция убывает на \( (-\infty; 0] \).
Функция возрастает на \( [0; +\infty) \).
Функция ограничена снизу (\( y \ge 1 \)).
Функция не ограничена сверху.
4)
\( y = |x|^{1/6} - 2 \)
Ответ
Анализ функции:
Функция \( y = |x|^{1/6} - 2 = \sqrt[6]{|x|} - 2 \). Область определения \( D(y) = (-\infty; +\infty) \).
Множество значений: \( E(y) = [-2; +\infty) \) (так как \( \sqrt[6]{|x|} \ge 0 \), то \( y \ge -2 \)).
Функция убывает на \( (-\infty; 0] \).
Функция возрастает на \( [0; +\infty) \).
Функция ограничена снизу (\( y \ge -2 \)).
Функция не ограничена сверху.
5)
\( y = |x + 2|^{1/3} \)
Ответ
Анализ функции:
График \( y = |x + 2|^{1/3} \) получен из \( y = |x|^{1/3} \) сдвигом на 2 единицы влево. Вершина в \((-2; 0)\).
Область определения: \( D(y) = (-\infty; +\infty) \).
Множество значений: \( E(y) = [0; +\infty) \).
Функция убывает на \( (-\infty; -2] \).
Функция возрастает на \( [-2; +\infty) \).
Функция ограничена снизу (\( y \ge 0 \)).
Функция не ограничена сверху.
6)
\( y = |2x|^{-1} \)
Ответ
Анализ функции:
Функция \( y = \frac{1}{|2x|} = \frac{1}{2|x|} \).
Область определения: \( |2x| \ne 0 \), т.е. \( x \ne 0 \). \( D(y) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty) \).
Функция вида \( y = x^p \), где \( p \) — заданное действительное число. Свойства функции зависят от свойств степени с действительным показателем.
\( y = x^p \)
Функция, ограниченная снизу
Функция \( y = f(x) \), определенная на множестве \( X \), называется ограниченной снизу на множестве \( X \), если существует число \( C_1 \) такое, что для любого \( x \in X \) выполняется неравенство \( f(x) \ge C_1 \).
\( f(x) \ge C_1 \)
Функция, ограниченная сверху
Функция \( y = f(x) \), определенная на множестве \( X \), называется ограниченной сверху на множестве \( X \), если существует число \( C_2 \) такое, что для любого \( x \in X \) выполняется неравенство \( f(x) \le C_2 \).
\( f(x) \le C_2 \)
Монотонность степенной функции (при x > 0)
При \( x > 0 \) степенная функция \( y = x^p \) является: 1. Возрастающей, если \( p > 0 \). 2. Убывающей, если \( p < 0 \).
\( p > 0 \Rightarrow y \uparrow \text{ при } x > 0 \); \( p < 0 \Rightarrow y \downarrow \text{ при } x > 0 \)
Создать проектГотовый файл Word. Оплата после того, как увидите работу.
Уведомление об авторском праве и цитировании
ВНИМАНИЕ: Представленные фрагменты из учебных материалов
используются исключительно в научно-образовательных целях в объеме,
оправданном поставленной целью.
Данное использование осуществляется в рамках, установленных законодательством об авторском праве
(в частности, нормами о свободном использовании произведения для образовательных целей).
В соответствии с законодательством, автор и источник заимствования
указаны для каждого используемого фрагмента.
