ГДЗ: Упражнение 123 - § 6 (Степенная функция, её свойства и график) - (Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы, Алимов Шавкат Арифджанович, Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна)
Построить график функции, указать её область определения и множество значений. Выяснить, является ли функция возрастающей (убывающей), ограниченной, принимает ли она наибольшее (наименьшее) значение:
1)
\( y = - (x - 2)^2 - 1 \)
Ответ
Шаг 1: Преобразование графика.
Базовая функция: парабола \( y = x^2 \).
Функция \( y = - (x - 2)^2 - 1 \) получена из \( y = x^2 \) сдвигом вправо на 2 единицы, отражением относительно оси \( Ox \) и сдвигом вниз на 1 единицу.
График — парабола, ветви которой направлены вниз, с вершиной в точке \((2; -1)\).
Шаг 2: Область определения и множество значений.
Область определения: \( D(y) = (-\infty; +\infty) \).
Множество значений: \( E(y) = (-\infty; -1] \).
Шаг 3: Монотонность и ограниченность.
Функция возрастает на промежутке \( (-\infty; 2] \).
Функция убывает на промежутке \( [2; +\infty) \).
Функция ограничена сверху числом \( C_2 = -1 \) (поскольку \( y \le -1 \)).
Функция не ограничена снизу.
Шаг 4: Наибольшее/наименьшее значение.
Наибольшее значение: \( \max y = -1 \) (достигается при \( x = 2 \)).
Наименьшего значения нет.
2)
\( y = (x + 3)^2 + 2 \)
Ответ
Шаг 1: Преобразование графика.
Базовая функция: парабола \( y = x^2 \).
Функция \( y = (x + 3)^2 + 2 \) получена из \( y = x^2 \) сдвигом влево на 3 единицы и сдвигом вверх на 2 единицы.
График — парабола, ветви которой направлены вверх, с вершиной в точке \((-3; 2)\).
Шаг 2: Область определения и множество значений.
Область определения: \( D(y) = (-\infty; +\infty) \).
Множество значений: \( E(y) = [2; +\infty) \).
Шаг 3: Монотонность и ограниченность.
Функция убывает на промежутке \( (-\infty; -3] \).
Функция возрастает на промежутке \( [-3; +\infty) \).
Функция ограничена снизу числом \( C_1 = 2 \) (поскольку \( y \ge 2 \)).
Функция не ограничена сверху.
Шаг 4: Наибольшее/наименьшее значение.
Наименьшее значение: \( \min y = 2 \) (достигается при \( x = -3 \)).
Наибольшего значения нет.
Что применять при решении
Степенная функция
Функция вида \( y = x^p \), где \( p \) — заданное действительное число. Свойства функции зависят от свойств степени с действительным показателем.
\( y = x^p \)
Функция, ограниченная снизу
Функция \( y = f(x) \), определенная на множестве \( X \), называется ограниченной снизу на множестве \( X \), если существует число \( C_1 \) такое, что для любого \( x \in X \) выполняется неравенство \( f(x) \ge C_1 \).
\( f(x) \ge C_1 \)
Функция, ограниченная сверху
Функция \( y = f(x) \), определенная на множестве \( X \), называется ограниченной сверху на множестве \( X \), если существует число \( C_2 \) такое, что для любого \( x \in X \) выполняется неравенство \( f(x) \le C_2 \).
\( f(x) \le C_2 \)
Монотонность степенной функции (при x > 0)
При \( x > 0 \) степенная функция \( y = x^p \) является: 1. Возрастающей, если \( p > 0 \). 2. Убывающей, если \( p < 0 \).
\( p > 0 \Rightarrow y \uparrow \text{ при } x > 0 \); \( p < 0 \Rightarrow y \downarrow \text{ при } x > 0 \)
Создать проектГотовый файл Word. Оплата после того, как увидите работу.
Уведомление об авторском праве и цитировании
ВНИМАНИЕ: Представленные фрагменты из учебных материалов
используются исключительно в научно-образовательных целях в объеме,
оправданном поставленной целью.
Данное использование осуществляется в рамках, установленных законодательством об авторском праве
(в частности, нормами о свободном использовании произведения для образовательных целей).
В соответствии с законодательством, автор и источник заимствования
указаны для каждого используемого фрагмента.
