ГДЗ: Упражнение 125 - § 6 (Степенная функция, её свойства и график) - (Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы, Алимов Шавкат Арифджанович, Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна)
В одной системе координат построить графики функций, находя сначала их области определения и множества значений:
1)
\( y = x^{1/3} \) и \( y = x^3 \)
Ответ
Анализ функций:
Функция \( y = x^{1/3} = \sqrt[3]{x} \): Область определения: \( D(y) = (-\infty; +\infty) \). Множество значений: \( E(y) = (-\infty; +\infty) \). Функция возрастающая.
Функция \( y = x^3 \): Область определения: \( D(y) = (-\infty; +\infty) \). Множество значений: \( E(y) = (-\infty; +\infty) \). Функция возрастающая.
Построение графика:
Графики обеих функций проходят через точки \((-1, -1)\), \((0, 0)\), \((1, 1)\). Функции являются взаимно обратными, поэтому их графики симметричны относительно прямой \( y = x \).
2)
\( y = x^{1/4} \) и \( y = x^4 \)
Ответ
Анализ функций:
Функция \( y = x^{1/4} = \sqrt[4]{x} \): Показатель \( \frac{1}{4} \) — положительное, нецелое. Область определения: \( D(y) = [0; +\infty) \). Множество значений: \( E(y) = [0; +\infty) \). Функция возрастающая.
Функция \( y = x^4 \): Область определения: \( D(y) = (-\infty; +\infty) \). Множество значений: \( E(y) = [0; +\infty) \). Функция четная.
Построение графика:
При \( x \ge 0 \) функция \( y = x^{1/4} \) возрастает медленнее, чем \( y = x \) (график выпуклый вверх), а функция \( y = x^4 \) возрастает быстрее (график выпуклый вниз). Обе функции проходят через точки \((0, 0)\) и \((1, 1)\).
3)
\( y = x^2 \) и \( y = x^{-2} \)
Ответ
Анализ функций:
Функция \( y = x^2 \): Область определения: \( D(y) = (-\infty; +\infty) \). Множество значений: \( E(y) = [0; +\infty) \). График — парабола, симметричная относительно \( Oy \).
Функция \( y = x^{-2} = \frac{1}{x^2} \): Область определения: \( D(y) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty) \). Множество значений: \( E(y) = (0; +\infty) \). График симметричен относительно \( Oy \), имеет асимптоты \( x=0 \) и \( y=0 \).
Построение графика:
Графики пересекаются в точках, где \( x^2 = x^{-2} \), т.е. \( x^4 = 1 \). Это точки \((-1, 1)\) и \((1, 1)\). График \( y = x^2 \) — парабола, график \( y = x^{-2} \) — две ветви над осью \( Ox \).
4)
\( y = x^{2/5} \) и \( y = x^{5/2} \)
Ответ
Анализ функций:
Функция \( y = x^{2/5} = \sqrt[5]{x^2} \): Поскольку степень \( \frac{2}{5} = 0,4 \) — нецелое число, в общем случае \( D(y) = [0; +\infty) \). Однако, поскольку \( x^{2/5} = (x^2)^{1/5} = \sqrt[5]{x^2} \), а под корнем нечетной степени находится квадрат, функция определена для всех \( x \). Область определения: \( D(y) = (-\infty; +\infty) \). Множество значений: \( E(y) = [0; +\infty) \). Функция четная.
Функция \( y = x^{5/2} = \sqrt{x^5} \): Показатель \( \frac{5}{2} = 2,5 \) — нецелое число. Область определения: \( D(y) = [0; +\infty) \). Множество значений: \( E(y) = [0; +\infty) \). Функция возрастающая.
Построение графика:
Обе функции определены и неотрицательны на \( [0; +\infty) \) и проходят через \((0, 0)\) и \((1, 1)\). При \( x > 1 \) \( y = x^{5/2} \) возрастает быстрее (\( 2,5 > 1 \)), а \( y = x^{2/5} \) — медленнее (\( 0 < 0,4 < 1 \)).
Что применять при решении
Степенная функция
Функция вида \( y = x^p \), где \( p \) — заданное действительное число. Свойства функции зависят от свойств степени с действительным показателем.
\( y = x^p \)
Функция, ограниченная снизу
Функция \( y = f(x) \), определенная на множестве \( X \), называется ограниченной снизу на множестве \( X \), если существует число \( C_1 \) такое, что для любого \( x \in X \) выполняется неравенство \( f(x) \ge C_1 \).
\( f(x) \ge C_1 \)
Функция, ограниченная сверху
Функция \( y = f(x) \), определенная на множестве \( X \), называется ограниченной сверху на множестве \( X \), если существует число \( C_2 \) такое, что для любого \( x \in X \) выполняется неравенство \( f(x) \le C_2 \).
\( f(x) \le C_2 \)
Монотонность степенной функции (при x > 0)
При \( x > 0 \) степенная функция \( y = x^p \) является: 1. Возрастающей, если \( p > 0 \). 2. Убывающей, если \( p < 0 \).
\( p > 0 \Rightarrow y \uparrow \text{ при } x > 0 \); \( p < 0 \Rightarrow y \downarrow \text{ при } x > 0 \)
Создать проектГотовый файл Word. Оплата после того, как увидите работу.
Уведомление об авторском праве и цитировании
ВНИМАНИЕ: Представленные фрагменты из учебных материалов
используются исключительно в научно-образовательных целях в объеме,
оправданном поставленной целью.
Данное использование осуществляется в рамках, установленных законодательством об авторском праве
(в частности, нормами о свободном использовании произведения для образовательных целей).
В соответствии с законодательством, автор и источник заимствования
указаны для каждого используемого фрагмента.
