ГДЗ: Упражнение 246 - Параграф Глава 3 (Итоговые упражнения) - (Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы, Алимов Шавкат Арифджанович, Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна)

246 упражнение:

Сравнить числа:

1) \( 4^{-\sqrt{3}} \) и \( 4^{-\sqrt{2}} \)

Ответ

Пояснение: Используем свойство монотонности показательной функции \( y = a^x \).

Основание степени: \( a = 4 \). Так как \( 4 > 1 \), функция \( y = 4^x \) является возрастающей.

Сравниваем показатели: \( -\sqrt{3} \) и \( -\sqrt{2} \). Так как \( \sqrt{3} \approx 1.732 \) и \( \sqrt{2} \approx 1.414 \), то \( \sqrt{3} > \sqrt{2} \). Умножив на \(-1\), получаем обратное неравенство: \( -\sqrt{3} < -\sqrt{2} \).

Поскольку функция возрастающая, большему показателю соответствует большее значение функции:

Так как \( -\sqrt{3} < -\sqrt{2} \), то \( 4^{-\sqrt{3}} < 4^{-\sqrt{2}} \).

Ответ: \( 4^{-\sqrt{3}} < 4^{-\sqrt{2}} \)

2) \( 2^{\sqrt{3}} \) и \( 2^{1.7} \)

Ответ

Пояснение: Используем свойство монотонности показательной функции \( y = a^x \).

Основание степени: \( a = 2 \). Так как \( 2 > 1 \), функция \( y = 2^x \) является возрастающей.

Сравниваем показатели: \( \sqrt{3} \) и \( 1.7 \).

Известно, что \( \sqrt{3} \approx 1.732 \).
Сравнивая \( 1.732 \) и \( 1.7 \), получаем \( \sqrt{3} > 1.7 \).

Поскольку функция возрастающая, большему показателю соответствует большее значение функции:

Так как \( \sqrt{3} > 1.7 \), то \( 2^{\sqrt{3}} > 2^{1.7} \).

Ответ: \( 2^{\sqrt{3}} > 2^{1.7} \)

3) \( \left(\frac{1}{2}\right)^{1.4} \) и \( \left(\frac{1}{2}\right)^{\sqrt{2}} \)

Ответ

Пояснение: Используем свойство монотонности показательной функции \( y = a^x \).

Основание степени: \( a = \frac{1}{2} \). Так как \( 0 < \frac{1}{2} < 1 \), функция \( y = \left(\frac{1}{2}\right)^x \) является убывающей.

Сравниваем показатели: \( 1.4 \) и \( \sqrt{2} \).

Известно, что \( \sqrt{2} \approx 1.414 \).
Сравнивая \( 1.4 \) и \( 1.414 \), получаем \( 1.4 < \sqrt{2} \).

Поскольку функция убывающая, большему показателю соответствует меньшее значение функции:

Так как \( 1.4 < \sqrt{2} \), то \( \left(\frac{1}{2}\right)^{1.4} > \left(\frac{1}{2}\right)^{\sqrt{2}} \).

Ответ: \( \left(\frac{1}{2}\right)^{1.4} > \left(\frac{1}{2}\right)^{\sqrt{2}} \)

4) \( \left(\frac{1}{9}\right)^{\pi} \) и \( \left(\frac{1}{9}\right)^{3.14} \)

Ответ

Пояснение: Используем свойство монотонности показательной функции \( y = a^x \).

Основание степени: \( a = \frac{1}{9} \). Так как \( 0 < \frac{1}{9} < 1 \), функция \( y = \left(\frac{1}{9}\right)^x \) является убывающей.

Сравниваем показатели: \( \pi \) и \( 3.14 \).

Известно, что \( \pi \approx 3.14159... \).
Сравнивая \( 3.14159... \) и \( 3.14 \), получаем \( \pi > 3.14 \).

Поскольку функция убывающая, большему показателю соответствует меньшее значение функции:

Так как \( \pi > 3.14 \), то \( \left(\frac{1}{9}\right)^{\pi} < \left(\frac{1}{9}\right)^{3.14} \).

Ответ: \( \left(\frac{1}{9}\right)^{\pi} < \left(\frac{1}{9}\right)^{3.14} \)

Что применять при решении

Сравнение показательных чисел

Показательная функция \( y = a^x \) является возрастающей при \( a > 1 \) и убывающей при \( 0 < a < 1 \). Это свойство используется для сравнения чисел и решения показательных неравенств.

Если \( a > 1 \), то \( a^{x_1} > a^{x_2} \) равносильно \( x_1 > x_2 \).
Если \( 0 < a < 1 \), то \( a^{x_1} > a^{x_2} \) равносильно \( x_1 < x_2 \).

Решение показательных уравнений

Показательное уравнение \( a^{f(x)} = a^{g(x)} \) при \( a > 0, a \neq 1 \) эквивалентно уравнению \( f(x) = g(x) \).

\( a^{f(x)} = a^{g(x)} \implies f(x) = g(x) \)

Метод замены переменной

Для решения сложных показательных уравнений, которые можно привести к виду \( A \cdot (a^x)^2 + B \cdot a^x + C = 0 \), используется замена \( t = a^x \), где \( t > 0 \).

\( A \cdot (a^x)^2 + B \cdot a^x + C = 0 \xrightarrow{t=a^x} A t^2 + B t + C = 0, \; t>0 \)

Другие упражнения из параграфа Глава 3

246 247 248 249 250 251 252 253 254 258 259 260 261 262 263 264 265

Данные параграфа

К параграфу →

Глава: Глава 3
Параграф: Глава 3 — Итоговые упражнения
Учебник: Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы
Автор: Алимов Шавкат Арифджанович, Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна
Год: 2025

Уведомление об авторском праве и цитировании

ВНИМАНИЕ: Представленные фрагменты из учебных материалов используются исключительно в научно-образовательных целях в объеме, оправданном поставленной целью.

Данное использование осуществляется в рамках, установленных законодательством об авторском праве (в частности, нормами о свободном использовании произведения для образовательных целей).

В соответствии с законодательством, автор и источник заимствования указаны для каждого используемого фрагмента.