ГДЗ: Упражнение 247 - Глава 3 (Итоговые упражнения) - (Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы, Алимов Шавкат Арифджанович, Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна)
Пояснение: Сравнить число \( A \) с единицей (\( 1 \)) означает определить, верно ли \( A > 1 \), \( A = 1 \) или \( A < 1 \). Поскольку \( 1 = a^0 \) для любого основания \( a \neq 0 \), мы можем представить \( 1 = 2^0 \).
Сравниваемое число: \( 2^{-\sqrt{5}} \). Сравниваем его с \( 2^0 \).
Основание: \( a = 2 \). Так как \( 2 > 1 \), функция \( y = 2^x \) возрастает.
Сравниваем показатели: \( -\sqrt{5} \) и \( 0 \).
Так как \( \sqrt{5} \approx 2.236 > 0 \), то \( -\sqrt{5} < 0 \).
Поскольку основание больше \( 1 \), неравенство между показателями сохраняется для значений функции:
Так как \( -\sqrt{5} < 0 \), то \( 2^{-\sqrt{5}} < 2^0 \).
Следовательно, \( 2^{-\sqrt{5}} < 1 \).
Ответ: \( 2^{-\sqrt{5}} < 1 \)
2)
\( \left(\frac{2}{3}\right)^{\sqrt{3}} \)
Ответ
Пояснение: Сравниваем число \( \left(\frac{2}{3}\right)^{\sqrt{3}} \) с \( 1 = \left(\frac{2}{3}\right)^0 \).
Основание: \( a = \frac{2}{3} \). Так как \( 0 < \frac{2}{3} < 1 \), функция \( y = \left(\frac{2}{3}\right)^x \) убывает.
Сравниваем показатели: \( \sqrt{3} \) и \( 0 \).
Так как \( \sqrt{3} > 0 \).
Поскольку основание меньше \( 1 \), неравенство между показателями меняется на противоположное для значений функции:
Так как \( \sqrt{3} > 0 \), то \( \left(\frac{2}{3}\right)^{\sqrt{3}} < \left(\frac{2}{3}\right)^0 \).
Пояснение: Сравниваем число \( \left(\frac{\pi}{4}\right)^{\sqrt{5}-2} \) с \( 1 = \left(\frac{\pi}{4}\right)^0 \).
Определяем основание и его отношение к \( 1 \): \( \pi \approx 3.14159 \). \( \frac{\pi}{4} \approx \frac{3.14159}{4} \approx 0.785 \). Так как \( 0 < \frac{\pi}{4} < 1 \), функция убывает.
Определяем показатель и его отношение к \( 0 \): \( \sqrt{5}-2 \). \( \sqrt{5} \approx 2.236 \). \( \sqrt{5}-2 \approx 2.236 - 2 = 0.236 \). Так как \( 0.236 > 0 \), показатель \( \sqrt{5}-2 > 0 \).
Поскольку основание меньше \( 1 \) и показатель положительный, то значение функции меньше \( 1 \):
Так как \( \sqrt{5}-2 > 0 \), то \( \left(\frac{\pi}{4}\right)^{\sqrt{5}-2} < \left(\frac{\pi}{4}\right)^0 \).
Показательная функция \( y = a^x \) является возрастающей при \( a > 1 \) и убывающей при \( 0 < a < 1 \). Это свойство используется для сравнения чисел и решения показательных неравенств.
Если \( a > 1 \), то \( a^{x_1} > a^{x_2} \) равносильно \( x_1 > x_2 \).
Если \( 0 < a < 1 \), то \( a^{x_1} > a^{x_2} \) равносильно \( x_1 < x_2 \).
Решение показательных уравнений
Показательное уравнение \( a^{f(x)} = a^{g(x)} \) при \( a > 0, a \neq 1 \) эквивалентно уравнению \( f(x) = g(x) \).
\( a^{f(x)} = a^{g(x)} \implies f(x) = g(x) \)
Метод замены переменной
Для решения сложных показательных уравнений, которые можно привести к виду \( A \cdot (a^x)^2 + B \cdot a^x + C = 0 \), используется замена \( t = a^x \), где \( t > 0 \).
\( A \cdot (a^x)^2 + B \cdot a^x + C = 0 \xrightarrow{t=a^x} A t^2 + B t + C = 0, \; t>0 \)
Создать проектГотовый файл Word. Оплата после того, как увидите работу.
Уведомление об авторском праве и цитировании
ВНИМАНИЕ: Представленные фрагменты из учебных материалов
используются исключительно в научно-образовательных целях в объеме,
оправданном поставленной целью.
Данное использование осуществляется в рамках, установленных законодательством об авторском праве
(в частности, нормами о свободном использовании произведения для образовательных целей).
В соответствии с законодательством, автор и источник заимствования
указаны для каждого используемого фрагмента.
