ГДЗ: Упражнение 260 - Глава 3 (Итоговые упражнения) - (Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы, Алимов Шавкат Арифджанович, Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна)

Выносим общие множители в левой и правой частях:
Левая часть: \( 2^{x+4} + 2^{x+2} = 2^x \cdot 2^4 + 2^x \cdot 2^2 = 2^x (16 + 4) = 20 \cdot 2^x \)

Правая часть: \( 5^{x+1} + 3 \cdot 5^x = 5^x \cdot 5 + 3 \cdot 5^x = 5^x (5 + 3) = 8 \cdot 5^x \)

Уравнение принимает вид:
\( 20 \cdot 2^x = 8 \cdot 5^x \)

Делим обе части на \( 8 \cdot 2^x \) (или \( 20 \cdot 5^x \)) для приведения к виду \( a^x = b \):
\( \frac{20}{8} = \frac{5^x}{2^x} \)

Упрощаем дроби:
\( \frac{5}{2} = \left(\frac{5}{2}\right)^x \)

Так как \( \frac{5}{2} = \left(\frac{5}{2}\right)^1 \), то:
\( x = 1 \)

Перепишем: \( (5^x)^2 - 7 \cdot 5^x + 10 = 0 \)

Введем замену: \( t = 5^x \), \( t > 0 \).

Решаем квадратное уравнение: \( t^2 - 7t + 10 = 0 \)

Находим корни (по теореме Виета: \( t_1 \cdot t_2 = 10 \), \( t_1 + t_2 = 7 \)):
\( t_1 = 5 \)
\( t_2 = 2 \)

Оба корня положительны, возвращаемся к замене:

• Случай 1: \( 5^x = 5 \implies 5^x = 5^1 \implies x_1 = 1 \)
• Случай 2: \( 5^x = 2 \implies x_2 = \log_5 2 \)

Ответ: \( x_1 = 1; \; x_2 = \log_5 2 \)

Приведем все к одной части:
\( 2^{x^2 - 1} - 3 \cdot 2^{x^2 - 2x} - 2^{2x^2} = 0 \)

Похоже, что это однородное уравнение второго порядка, если бы все показатели были вида \( Ax \) и \( Bx \). Делим на \( 2^{x^2} \):
\( 2^{x^2 - 1} \cdot \frac{1}{2^{x^2}} - 3 \cdot 2^{x^2 - 2x} \cdot \frac{1}{2^{x^2}} = 2^{2x^2} \cdot \frac{1}{2^{x^2}} \)
\( 2^{x^2 - 1 - x^2} - 3 \cdot 2^{x^2 - 2x - x^2} = 2^{2x^2 - x^2} \)
\( 2^{-1} - 3 \cdot 2^{-2x} = 2^{x^2} \)

Упрощаем:
\( \frac{1}{2} - 3 \cdot \frac{1}{(2^x)^2} = (2^x)^2 \)

Введем замену: \( t = (2^x)^2 \). Так как \( 2^x > 0 \), то \( t > 0 \).
\( \frac{1}{2} - \frac{3}{t} = t \)

Умножим на \( 2t \) (где \( t \neq 0 \)):
\( t - 6 = 2t^2 \)
\( 2t^2 - t + 6 = 0 \)

Находим дискриминант:
\( D = (-1)^2 - 4(2)(6) = 1 - 48 = -47 \)

Так как \( D < 0 \), у квадратного уравнения нет действительных корней. Следовательно, исходное уравнение не имеет решений.

Упростим подобные слагаемые:
\( 4 \cdot 9^x + (12 - 16) \cdot 3^x = 0 \)
\( 4 \cdot 9^x - 4 \cdot 3^x = 0 \)

Разделим на 4:
\( 9^x - 3^x = 0 \)

Перепишем \( 9^x = (3^x)^2 \):
\( (3^x)^2 - 3^x = 0 \)

Введем замену: \( t = 3^x \), \( t > 0 \).
\( t^2 - t = 0 \)
\( t(t - 1) = 0 \)

Находим корни:
\( t_1 = 0 \) (посторонний, так как \( t > 0 \))
\( t_2 = 1 \)

Возвращаемся к замене:
\( 3^x = 1 \)
\( 3^x = 3^0 \)
\( x = 0 \)