ГДЗ: Упражнение 248 - Параграф Глава 3 (Итоговые упражнения) - (Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы, Алимов Шавкат Арифджанович, Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна)

248 упражнение:

Является ли функция возрастающей или убывающей:

1) \( y = 0,78^x \)

Ответ

Пояснение: Определяем по основанию показательной функции \( y = a^x \).

Основание: \( a = 0,78 \). Так как \( 0 < 0,78 < 1 \), функция является убывающей.

Ответ: Убывающая.

2) \( y = 1,69^x \)

Ответ

Пояснение: Определяем по основанию показательной функции \( y = a^x \).

Основание: \( a = 1,69 \). Так как \( 1,69 > 1 \), функция является возрастающей.

Ответ: Возрастающая.

3) \( y = \left(\frac{1}{2}\right)^{-x} \)

Ответ

Пояснение: Приводим функцию к виду \( y = a^x \) и определяем по основанию \( a \).

Преобразуем: \( y = \left(\frac{1}{2}\right)^{-x} = \left(\left(\frac{1}{2}\right)^{-1}\right)^x = 2^x \).

Основание: \( a = 2 \). Так как \( 2 > 1 \), функция является возрастающей.

Ответ: Возрастающая.

4) \( y = 4^{-x} \)

Ответ

Пояснение: Приводим функцию к виду \( y = a^x \) и определяем по основанию \( a \).

Преобразуем: \( y = 4^{-x} = \left(4^{-1}\right)^x = \left(\frac{1}{4}\right)^x \).

Основание: \( a = \frac{1}{4} \). Так как \( 0 < \frac{1}{4} < 1 \), функция является убывающей.

Ответ: Убывающая.

Что применять при решении

Сравнение показательных чисел

Показательная функция \( y = a^x \) является возрастающей при \( a > 1 \) и убывающей при \( 0 < a < 1 \). Это свойство используется для сравнения чисел и решения показательных неравенств.

Если \( a > 1 \), то \( a^{x_1} > a^{x_2} \) равносильно \( x_1 > x_2 \).
Если \( 0 < a < 1 \), то \( a^{x_1} > a^{x_2} \) равносильно \( x_1 < x_2 \).

Решение показательных уравнений

Показательное уравнение \( a^{f(x)} = a^{g(x)} \) при \( a > 0, a \neq 1 \) эквивалентно уравнению \( f(x) = g(x) \).

\( a^{f(x)} = a^{g(x)} \implies f(x) = g(x) \)

Метод замены переменной

Для решения сложных показательных уравнений, которые можно привести к виду \( A \cdot (a^x)^2 + B \cdot a^x + C = 0 \), используется замена \( t = a^x \), где \( t > 0 \).

\( A \cdot (a^x)^2 + B \cdot a^x + C = 0 \xrightarrow{t=a^x} A t^2 + B t + C = 0, \; t>0 \)

Другие упражнения из параграфа Глава 3

246 247 248 249 250 251 252 253 254 258 259 260 261 262 263 264 265

Данные параграфа

К параграфу →

Глава: Глава 3
Параграф: Глава 3 — Итоговые упражнения
Учебник: Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы
Автор: Алимов Шавкат Арифджанович, Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна
Год: 2025

Уведомление об авторском праве и цитировании

ВНИМАНИЕ: Представленные фрагменты из учебных материалов используются исключительно в научно-образовательных целях в объеме, оправданном поставленной целью.

Данное использование осуществляется в рамках, установленных законодательством об авторском праве (в частности, нормами о свободном использовании произведения для образовательных целей).

В соответствии с законодательством, автор и источник заимствования указаны для каждого используемого фрагмента.