ГДЗ: Упражнение 250 - Глава 3 (Итоговые упражнения) - (Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы, Алимов Шавкат Арифджанович, Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна)

Левая часть: \( 1,5 = \frac{3}{2} \).

Правая часть: \( \frac{2}{3} = \left(\frac{3}{2}\right)^{-1} \).

Перепишем исходное уравнение с основанием \( \frac{3}{2} \):
\( \left(\frac{3}{2}\right)^x = \left(\left(\frac{3}{2}\right)^{-1}\right)^{x+1} \)

Применяем свойство степени \((a^m)^n = a^{mn} \):
\( \left(\frac{3}{2}\right)^x = \left(\frac{3}{2}\right)^{-(x+1)} \)

Приравниваем показатели (показательное уравнение \( a^{f(x)} = a^{g(x)} \) эквивалентно \( f(x) = g(x) \)):
\( x = -(x+1) \)

Решаем линейное уравнение:
\( x = -x - 1 \)
\( 2x = -1 \)
\( x = -\frac{1}{2} \)

Заменяем основания:
\( \left(\frac{3}{4}\right)^{2x^2} = \left(\frac{4}{3}\right)^{5x} \)

Приводим к основанию \( \frac{3}{4} \), используя \( \frac{4}{3} = \left(\frac{3}{4}\right)^{-1} \):
\( \left(\frac{3}{4}\right)^{2x^2} = \left(\left(\frac{3}{4}\right)^{-1}\right)^{5x} \)

Применяем свойство степени:
\( \left(\frac{3}{4}\right)^{2x^2} = \left(\frac{3}{4}\right)^{-5x} \)

Приравниваем показатели:
\( 2x^2 = -5x \)

Решаем квадратное уравнение:
\( 2x^2 + 5x = 0 \)
\( x(2x + 5) = 0 \)

Находим корни:
\( x_1 = 0 \) или \( 2x + 5 = 0 \)
\( 2x = -5 \)
\( x_2 = -\frac{5}{2} = -2,5 \)

Перепишем уравнение:
\( 5^{2x^2 - 5x} = 5^0 \)

Приравниваем показатели:
\( 2x^2 - 5x = 0 \)

Решаем квадратное уравнение (выносим \( x \) за скобки):
\( x(2x - 5) = 0 \)

Находим корни:
\( x_1 = 0 \) или \( 2x - 5 = 0 \)
\( 2x = 5 \)
\( x_2 = \frac{5}{2} = 2,5 \)

Перепишем уравнение:
\( \left(\frac{1}{7}\right)^{x^2 - 2x - 2} = \left(\frac{1}{7}\right)^1 \)

Приравниваем показатели:
\( x^2 - 2x - 2 = 1 \)

Решаем квадратное уравнение:
\( x^2 - 2x - 3 = 0 \)

Находим корни по теореме Виета или через дискриминант. (Произведение корней равно -3, сумма корней равна 2):
\( x_1 = 3 \) и \( x_2 = -1 \)