ГДЗ: Упражнение 262 - Глава 3 (Итоговые упражнения) - (Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы, Алимов Шавкат Арифджанович, Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна)

Преобразование первого уравнения:
\( 2^{x - y} = 128 \)
\( 2^{x - y} = 2^7 \)
\( x - y = 7 \) (Уравнение 1)

Преобразование второго уравнения:
\( \left(\frac{1}{2}\right)^{x - 2y} = \frac{1}{8} \)
\( (2^{-1})^{x - 2y} = 2^{-3} \)
\( 2^{-(x - 2y)} = 2^{-3} \)
\( -(x - 2y) = -3 \)
\( x - 2y = 3 \) (Уравнение 2)

Решаем систему линейных уравнений:
\( \begin{cases} x - y = 7 \quad (1) \\ x - 2y = 3 \quad (2) \end{cases} \)

Вычитаем (2) из (1):
\( (x - y) - (x - 2y) = 7 - 3 \)
\( x - y - x + 2y = 4 \)
\( y = 4 \)

Подставляем \( y = 4 \) в (1):
\( x - 4 = 7 \)
\( x = 11 \)

Введем замену: \( a = 2^x \), \( b = 5^y \). Так как \( 2^x > 0 \) и \( 5^y > 0 \), то \( a > 0 \) и \( b > 0 \).

Получаем систему:
\( \begin{cases} a \cdot b = 10 \quad (1) \\ b - a = 3 \quad (2) \end{cases} \)

Выражаем \( b \) из (2) и подставляем в (1):
\( b = a + 3 \)
\( a(a + 3) = 10 \)
\( a^2 + 3a - 10 = 0 \)

Решаем квадратное уравнение (по теореме Виета: \( a_1 \cdot a_2 = -10 \), \( a_1 + a_2 = -3 \)):
\( a_1 = 2 \)
\( a_2 = -5 \)

Так как \( a > 0 \), корень \( a_2 = -5 \) — посторонний.

Находим \( b \) при \( a = 2 \):
\( b = a + 3 = 2 + 3 = 5 \)

Возвращаемся к исходным переменным:

• Находим \( x \): \( 2^x = a \implies 2^x = 2 \implies x = 1 \)
• Находим \( y \): \( 5^y = b \implies 5^y = 5 \implies y = 1 \)

Ответ: \( (1; 1) \)