ГДЗ: Упражнение 265 - Глава 3 (Итоговые упражнения) - (Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы, Алимов Шавкат Арифджанович, Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна)

Правая часть: \( 9 = 3^2 \).

Переписываем неравенство:
\( 3^{|x| - 2} < 3^2 \)

Основание \( a = 3 \). Так как \( 3 > 1 \), функция возрастает. Знак неравенства сохраняется.

Сравниваем показатели:
\( |x| - 2 < 2 \)
\( |x| < 4 \)

Решаем неравенство с модулем:
\( -4 < x < 4 \)

Разделим обе части на \( 4^{|x| + 1} = 4^{|x|} \cdot 4^1 \):
\( \frac{3^{|x| - 2}}{4^{|x| + 1}} > 1 \)
\( \frac{3^{|x|} \cdot 3^{-2}}{4^{|x|} \cdot 4^1} > 1 \)
\( \frac{3^{|x|}}{4^{|x|}} \cdot \frac{3^{-2}}{4} > 1 \)

Упрощаем:
\( \left(\frac{3}{4}\right)^{|x|} \cdot \frac{1}{9 \cdot 4} > 1 \)
\( \left(\frac{3}{4}\right)^{|x|} \cdot \frac{1}{36} > 1 \)
\( \left(\frac{3}{4}\right)^{|x|} > 36 \)

Анализируем левую часть: \( 0 < \frac{3}{4} < 1 \), поэтому \( \left(\frac{3}{4}\right)^{|x|} \) является убывающей функцией от \( |x| \). Максимальное значение достигается при \( |x| = 0 \) и равно \( \left(\frac{3}{4}\right)^0 = 1 \).

Так как максимальное значение левой части равно \( 1 \), а правая часть равна \( 36 \), то \( 1 \ngtr 36 \). Неравенство не имеет решений.

Правая часть: \( 4^{|x + 1|} = (2^2)^{|x + 1|} = 2^{2|x + 1|} \).

Переписываем неравенство:
\( 2^{|x - 2| - 4} > 2^{2|x + 1|} \)

Основание \( a = 2 \). Так как \( 2 > 1 \), функция возрастает. Знак неравенства сохраняется.

Сравниваем показатели:
\( |x - 2| - 4 > 2|x + 1| \)
\( |x - 2| - 2|x + 1| > 4 \)

Решаем методом интервалов, нули модулей: \( x = 2 \) и \( x = -1 \). Рассмотрим три интервала:

• Случай 1: \( x < -1 \). \( |x-2| = -(x-2) = 2-x \); \( |x+1| = -(x+1) = -x-1 \).
  \( (2-x) - 2(-x-1) > 4 \)
  \( 2 - x + 2x + 2 > 4 \)
  \( x + 4 > 4 \implies x > 0 \).
  Пересечение \( x < -1 \) и \( x > 0 \) — нет решений.
• Случай 2: \( -1 \le x < 2 \). \( |x-2| = -(x-2) = 2-x \); \( |x+1| = x+1 \).
  \( (2-x) - 2(x+1) > 4 \)
  \( 2 - x - 2x - 2 > 4 \)
  \( -3x > 4 \implies x < -\frac{4}{3} \).
  Пересечение \( -1 \le x < 2 \) и \( x < -\frac{4}{3} \) — нет решений (так как \( -\frac{4}{3} \approx -1.33 < -1 \)).
• Случай 3: \( x \ge 2 \). \( |x-2| = x-2 \); \( |x+1| = x+1 \).
  \( (x-2) - 2(x+1) > 4 \)
  \( x - 2 - 2x - 2 > 4 \)
  \( -x - 4 > 4 \)
  \( -x > 8 \implies x < -8 \).
  Пересечение \( x \ge 2 \) и \( x < -8 \) — нет решений.

Ответ: Решений нет.

Если \( 5^{|x + 4| - 25|x|} > 1 \):
\( 5^{|x + 4| - 25|x|} > 5^0 \)

Основание \( a = 5 > 1 \), поэтому:
\( |x + 4| - 25|x| > 0 \)
\( |x + 4| > 25|x| \)

Возведем обе части в квадрат (так как обе части неотрицательны):
\( (x + 4)^2 > (25x)^2 \)
\( x^2 + 8x + 16 > 625x^2 \)
\( 0 > 624x^2 - 8x - 16 \)
\( 624x^2 - 8x - 16 < 0 \)

Делим на 8:
\( 78x^2 - x - 2 < 0 \)

Находим корни \( 78x^2 - x - 2 = 0 \):
\( D = (-1)^2 - 4(78)(-2) = 1 + 624 = 625 \)
\( \sqrt{D} = 25 \)
\( x_{1,2} = \frac{1 \pm 25}{156} \)
\( x_1 = \frac{26}{156} = \frac{1}{6} \)
\( x_2 = \frac{-24}{156} = -\frac{2}{13} \)

Так как ветви параболы направлены вверх (\( 78 > 0 \)), неравенство \( < 0 \) выполняется между корнями.