ГДЗ: Упражнение 263 - Глава 3 (Итоговые упражнения) - (Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы, Алимов Шавкат Арифджанович, Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна)
Пояснение: Раскрываем модуль \( |x| \) по определению.
Случай 1: \( x \ge 0 \). Тогда \( |x| = x \). \( y = 2^{x + x} = 2^{2x} = (2^2)^x = 4^x \)
Случай 2: \( x < 0 \). Тогда \( |x| = -x \). \( y = 2^{x + (-x)} = 2^0 = 1 \)
Объединяем: \( y = \begin{cases} 4^x, & x \ge 0 \\ 1, & x < 0 \end{cases} \)
Построение: Для \( x < 0 \), график — это горизонтальный луч \( y = 1 \) (не включая начало координат). Для \( x \ge 0 \), график — это возрастающая показательная функция \( y = 4^x \). В точке \( x = 0 \): \( y = 4^0 = 1 \). График непрерывен.
Ответ: График состоит из горизонтального луча \( y=1 \) при \( x < 0 \) и возрастающей показательной кривой \( y = 4^x \) при \( x \ge 0 \).
2)
\( y = 3^{|x| - x} \)
Ответ
Пояснение: Раскрываем модуль \( |x| \) по определению.
Случай 1: \( x \ge 0 \). Тогда \( |x| = x \). \( y = 3^{x - x} = 3^0 = 1 \)
Случай 2: \( x < 0 \). Тогда \( |x| = -x \). \( y = 3^{-x - x} = 3^{-2x} = (3^{-2})^x = \left(\frac{1}{9}\right)^x \)
Объединяем: \( y = \begin{cases} 1, & x \ge 0 \\ \left(\frac{1}{9}\right)^x, & x < 0 \end{cases} \)
Построение: Для \( x \ge 0 \), график — это горизонтальный луч \( y = 1 \) (включая начало координат). Для \( x < 0 \), график — это убывающая показательная функция \( y = \left(\frac{1}{9}\right)^x \). В точке \( x = 0 \) (предел слева): \( y \to \left(\frac{1}{9}\right)^0 = 1 \). График непрерывен.
Ответ: График состоит из горизонтального луча \( y=1 \) при \( x \ge 0 \) и убывающей показательной кривой \( y = \left(\frac{1}{9}\right)^x \) при \( x < 0 \).
Что применять при решении
Сравнение показательных чисел
Показательная функция \( y = a^x \) является возрастающей при \( a > 1 \) и убывающей при \( 0 < a < 1 \). Это свойство используется для сравнения чисел и решения показательных неравенств.
Если \( a > 1 \), то \( a^{x_1} > a^{x_2} \) равносильно \( x_1 > x_2 \).
Если \( 0 < a < 1 \), то \( a^{x_1} > a^{x_2} \) равносильно \( x_1 < x_2 \).
Решение показательных уравнений
Показательное уравнение \( a^{f(x)} = a^{g(x)} \) при \( a > 0, a \neq 1 \) эквивалентно уравнению \( f(x) = g(x) \).
\( a^{f(x)} = a^{g(x)} \implies f(x) = g(x) \)
Метод замены переменной
Для решения сложных показательных уравнений, которые можно привести к виду \( A \cdot (a^x)^2 + B \cdot a^x + C = 0 \), используется замена \( t = a^x \), где \( t > 0 \).
\( A \cdot (a^x)^2 + B \cdot a^x + C = 0 \xrightarrow{t=a^x} A t^2 + B t + C = 0, \; t>0 \)
Создать проектГотовый файл Word. Оплата после того, как увидите работу.
Уведомление об авторском праве и цитировании
ВНИМАНИЕ: Представленные фрагменты из учебных материалов
используются исключительно в научно-образовательных целях в объеме,
оправданном поставленной целью.
Данное использование осуществляется в рамках, установленных законодательством об авторском праве
(в частности, нормами о свободном использовании произведения для образовательных целей).
В соответствии с законодательством, автор и источник заимствования
указаны для каждого используемого фрагмента.
