ГДЗ: Упражнение 417 - § 22 (Поворот точки вокруг начала координат) - (Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы, Алимов Шавкат Арифджанович, Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна)

Пояснение: Угол \( \frac{\pi}{4} \) рад, или \( 45^{\circ} \). Это половина угла \( \frac{\pi}{2} \).

Построение: Точка находится в 1-й четверти, делит дугу от \( 0 \) до \( \frac{\pi}{2} \) пополам. Координаты точки \( (\frac{\sqrt{2}}{2}; \frac{\sqrt{2}}{2}) \).

Пояснение: Угол \( -\frac{2\pi}{3} \) рад. Отрицательный знак - поворот по часовой стрелке. \( \frac{2\pi}{3} = 120^{\circ} \).

Построение: Точка находится в 3-й четверти. Угол \( \frac{2\pi}{3} \) отсчитывается по часовой стрелке от \( P(1; 0) \). Координаты точки \( (-\frac{1}{2}; -\frac{\sqrt{3}}{2}) \).

Пояснение: Угол \( \frac{3\pi}{4} \) рад. \( \frac{3\pi}{4} = \pi - \frac{\pi}{4} \).

Построение: Точка находится во 2-й четверти. Она симметрична точке, соответствующей \( \frac{\pi}{4} \), относительно оси Oy. Координаты точки \( (-\frac{\sqrt{2}}{2}; \frac{\sqrt{2}}{2}) \).

Пояснение: Угол \( -\pi \) рад. Поворот на \( 180^{\circ} \) по часовой стрелке.

Построение: Точка находится на отрицательной части оси Ox, то есть в \( (-1; 0) \).

Пояснение: Угол \( -\frac{5\pi}{2} \) рад. Разложим: \( -\frac{5\pi}{2} = -2\pi - \frac{\pi}{2} \). Это один полный оборот по часовой стрелке и дополнительный поворот на \( 90^{\circ} \) по часовой стрелке.

Построение: Точка находится на отрицательной части оси Oy, то есть в \( (0; -1) \).

Пояснение: Угол \( -225^{\circ} \). Отрицательный знак - по часовой стрелке. \( -225^{\circ} = -180^{\circ} - 45^{\circ} \).

Построение: Точка находится во 2-й четверти. Угол \( 225^{\circ} \) отсчитывается по часовой стрелке. Эта точка совпадает с точкой, полученной поворотом на \( 360^{\circ} - 225^{\circ} = 135^{\circ} \) против часовой стрелки, то есть на \( \frac{3\pi}{4} \). Координаты точки \( (-\frac{\sqrt{2}}{2}; \frac{\sqrt{2}}{2}) \).