ГДЗ: Упражнение 422 - § 22 (Поворот точки вокруг начала координат) - (Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы, Алимов Шавкат Арифджанович, Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна)

Пояснение: Угол \( \alpha = \pi \pm 2\pi k \). Поскольку \( 2\pi k \) - это полное число оборотов, точька всегда совпадает с точкой, соответствующей углу \( \pi \).

Координаты: \( (\cos(\pi); \sin(\pi)) = (-1; 0) \).

Ответ: Координаты точки: \( (-1; 0) \).

Пояснение: Угол \( \alpha = \frac{\pi}{2} \pm 2\pi k \). Точка всегда совпадает с точкой, соответствующей углу \( \frac{\pi}{2} \).

Координаты: \( (\cos(\frac{\pi}{2}); \sin(\frac{\pi}{2})) = (0; 1) \).

Ответ: Координаты точки: \( (0; 1) \).

Пояснение: Угол \( \alpha = \frac{3\pi}{2} \pm \pi k \). Здесь \( \pi k \) означает поворот на \( \pi \) (180°) или на \( 2\pi \) (360°) и т.д.

• Если \( k \) - четное (\( k = 2m \)), угол \( \alpha = \frac{3\pi}{2} \pm 2\pi m \). Точка совпадает с \( (0; -1) \).
• Если \( k \) - нечетное (\( k = 2m + 1 \)), угол \( \alpha = \frac{3\pi}{2} \pm (2m + 1)\pi = \frac{3\pi}{2} \pm \pi + 2\pi m \).
  • \( +\pi \): \( \frac{3\pi}{2} + \pi = \frac{5\pi}{2} \). Эквивалентно \( \frac{\pi}{2} \) (\( 0; 1 \)).
  • \( -\pi \): \( \frac{3\pi}{2} - \pi = \frac{\pi}{2} \). Эквивалентно \( \frac{\pi}{2} \) (\( 0; 1 \)).

Таким образом, точка может находиться либо в \( (0; -1) \) (угол \( \frac{3\pi}{2} \)), либо в \( (0; 1) \) (угол \( \frac{\pi}{2} \)).

Ответ: Координаты точки: \( (0; -1) \) или \( (0; 1) \).

Пояснение: Угол \( \alpha = -\pi + \pi k \). Угол \( -\pi \) эквивалентен \( \pi \). Общий вид: \( \pi k \) (с точностью до \( 2\pi k \) при четном \( k \) и до \( \pi + 2\pi k \) при нечетном \( k \)).

• Если \( k \) - четное (\( k = 2m \)), угол \( \alpha = -\pi + 2\pi m \) совпадает с \( \pi \). Точка: \( (-1; 0) \).
• Если \( k \) - нечетное (\( k = 2m + 1 \)), угол \( \alpha = -\pi + (2m + 1)\pi = 2\pi m \) совпадает с \( 0 \) или \( 2\pi \). Точка: \( (1; 0) \).

Таким образом, точка может находиться либо в \( (-1; 0) \) (на отрицательной оси Ox), либо в \( (1; 0) \) (на положительной оси Ox).

Ответ: Координаты точки: \( (-1; 0) \) или \( (1; 0) \).