ГДЗ: Упражнение 424 - Параграф § 22 (Поворот точки вокруг начала координат) - (Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы, Алимов Шавкат Арифджанович, Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна)

424 упражнение:

Определить четверть, в которой расположена точка, полученная поворотом точки \( P(1; 0) \) на угол:

1) \( 1 \)

Ответ

Пояснение: Угол \( \alpha = 1 \) рад. Поскольку \( 0 < 1 < \frac{\pi}{2} \) (так как \( \frac{\pi}{2} \approx 1,57 \)), точка находится между 0 и \( 90^{\circ} \).

Четверть: 1-я четверть.

2) \( 2,75 \)

Ответ

Пояснение: Угол \( \alpha = 2,75 \) рад. Сравним с границами: \( \frac{\pi}{2} \approx 1,57 \) и \( \pi \approx 3,14 \). Поскольку \( 1,57 < 2,75 < 3,14 \), точка находится между \( 90^{\circ} \) и \( 180^{\circ} \).

Четверть: 2-я четверть.

3) \( 3,16 \)

Ответ

Пояснение: Угол \( \alpha = 3,16 \) рад. Сравним с границами: \( \pi \approx 3,14 \) и \( \frac{3\pi}{2} \approx 4,71 \). Поскольку \( 3,14 < 3,16 < 4,71 \), точка находится между \( 180^{\circ} \) и \( 270^{\circ} \).

Четверть: 3-я четверть.

4) \( 4,95 \)

Ответ

Пояснение: Угол \( \alpha = 4,95 \) рад. Сравним с границами: \( \frac{3\pi}{2} \approx 4,71 \) и \( 2\pi \approx 6,28 \). Поскольку \( 4,71 < 4,95 < 6,28 \), точка находится между \( 270^{\circ} \) и \( 360^{\circ} \).

Четверть: 4-я четверть.

Что применять при решении

Единичная окружность

Окружность радиуса 1 с центром в начале координат на координатной плоскости. Поворот точки \( P(1; 0) \) вокруг начала координат на угол \( \alpha \) рад приводит ее в точку \( M(x; y) \).

\( x^2 + y^2 = 1 \)

Координаты точки после поворота

Координаты точки \( M \), полученной поворотом точки \( P(1; 0) \) на угол \( \alpha \) рад, определяются как косинус и синус этого угла.

\( M(\cos\alpha; \sin\alpha) \)

Положительное и отрицательное направление поворота

Если \( \alpha > 0 \), то движение совершается против часовой стрелки (положительное направление). Если \( \alpha < 0 \), то движение совершается по часовой стрелке (отрицательное направление).

Углы, соответствующие одной точке

Поворот на угол \( \alpha \) и на угол \( \alpha + 2\pi k \), где \( k \) - любое целое число, приводит к одной и той же точке на единичной окружности.

\( \cos(\alpha + 2\pi k) = \cos\alpha \); \( \sin(\alpha + 2\pi k) = \sin\alpha \)

Другие упражнения из параграфа § 22

416 417 418 419 420 421 422 423 424

Данные параграфа

К параграфу →

Глава: Глава 5
Параграф: § 22 — Поворот точки вокруг начала координат
Учебник: Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы
Автор: Алимов Шавкат Арифджанович, Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна
Год: 2025

Уведомление об авторском праве и цитировании

ВНИМАНИЕ: Представленные фрагменты из учебных материалов используются исключительно в научно-образовательных целях в объеме, оправданном поставленной целью.

Данное использование осуществляется в рамках, установленных законодательством об авторском праве (в частности, нормами о свободном использовании произведения для образовательных целей).

В соответствии с законодательством, автор и источник заимствования указаны для каждого используемого фрагмента.