ГДЗ: Упражнение 466 - § 26 (Тригонометрические тождества) - (Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы, Алимов Шавкат Арифджанович, Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна)

Упростим выражение:

• Шаг 1: Заменим тангенс по формуле \( \text{tg} \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} \).
  \( \cos \alpha \cdot \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} - 2 \sin \alpha \).
  (Выражение определено при \( \cos \alpha \ne 0 \)).
• Шаг 2: Сократим \( \cos \alpha \) в первом слагаемом:
  \( \sin \alpha - 2 \sin \alpha \).
• Шаг 3: Выполним вычитание:
  \( (1 - 2) \sin \alpha = -\sin \alpha \).

Ответ: \( -\sin \alpha \)

Упростим выражение:

• Шаг 1: Заменим котангенс по формуле \( \text{ctg} \alpha = \frac{\cos \alpha}{\sin \alpha} \).
  \( \cos \alpha - \sin \alpha \cdot \frac{\cos \alpha}{\sin \alpha} \).
  (Выражение определено при \( \sin \alpha \ne 0 \)).
• Шаг 2: Сократим \( \sin \alpha \) во втором слагаемом:
  \( \cos \alpha - \cos \alpha \).
• Шаг 3: Выполним вычитание:
  \( 0 \).

Ответ: \( 0 \)

Упростим выражение:

• Шаг 1: Используем основное тригонометрическое тождество \( \sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1 \), выразив \( \sin^2 \alpha \):
  \( \sin^2 \alpha = 1 - \cos^2 \alpha \).
• Шаг 2: Подставим это в числитель:
  \( \frac{1 - \cos^2 \alpha}{1 + \cos \alpha} \).
• Шаг 3: Применим формулу разности квадратов \( a^2 - b^2 = (a-b)(a+b) \) к числителю:
  \( \frac{(1 - \cos \alpha)(1 + \cos \alpha)}{1 + \cos \alpha} \).
• Шаг 4: Сократим на \( 1 + \cos \alpha \) (при условии \( 1 + \cos \alpha \ne 0 \), т.е. \( \cos \alpha \ne -1 \) или \( \alpha \ne \pi + 2\pi k, k \in \mathbb{Z} \)):
  \( 1 - \cos \alpha \).

Ответ: \( 1 - \cos \alpha \)

Упростим выражение:

• Шаг 1: Используем основное тригонометрическое тождество \( \sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1 \), выразив \( \cos^2 \alpha \):
  \( \cos^2 \alpha = 1 - \sin^2 \alpha \).
• Шаг 2: Подставим это в числитель:
  \( \frac{1 - \sin^2 \alpha}{1 - \sin \alpha} \).
• Шаг 3: Применим формулу разности квадратов \( a^2 - b^2 = (a-b)(a+b) \) к числителю:
  \( \frac{(1 - \sin \alpha)(1 + \sin \alpha)}{1 - \sin \alpha} \).
• Шаг 4: Сократим на \( 1 - \sin \alpha \) (при условии \( 1 - \sin \alpha \ne 0 \), т.е. \( \sin \alpha \ne 1 \) или \( \alpha \ne \frac{\pi}{2} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z} \)):
  \( 1 + \sin \alpha \).

Ответ: \( 1 + \sin \alpha \)