ГДЗ: Упражнение 473 - § 26 (Тригонометрические тождества) - (Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы, Алимов Шавкат Арифджанович, Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна)

Дано: \( \text{tg} \alpha + \text{ctg} \alpha = 3 \). Требуется найти \( \text{tg}^2 \alpha + \text{ctg}^2 \alpha \).

• Шаг 1: Возведем обе части заданного равенства в квадрат:
  \( (\text{tg} \alpha + \text{ctg} \alpha)^2 = 3^2 \).
• Шаг 2: Раскроем квадрат суммы в левой части:
  \( \text{tg}^2 \alpha + 2 \cdot \text{tg} \alpha \cdot \text{ctg} \alpha + \text{ctg}^2 \alpha = 9 \).
• Шаг 3: Используем тождество \( \text{tg} \alpha \cdot \text{ctg} \alpha = 1 \):
  \( \text{tg}^2 \alpha + 2 \cdot (1) + \text{ctg}^2 \alpha = 9 \).
  \( \text{tg}^2 \alpha + 2 + \text{ctg}^2 \alpha = 9 \).
• Шаг 4: Выразим искомое выражение:
  \( \text{tg}^2 \alpha + \text{ctg}^2 \alpha = 9 - 2 \).
  \( \text{tg}^2 \alpha + \text{ctg}^2 \alpha = 7 \).

Ответ: \( 7 \)