ГДЗ: Упражнение 470 - § 26 (Тригонометрические тождества) - (Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы, Алимов Шавкат Арифджанович, Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна)

Докажем тождество, преобразовав левую часть (ЛЧ):

• Шаг 1: Применим формулу разности квадратов \( (a-b)(a+b) = a^2 - b^2 \) к левой части:
  \( (1 - \cos 2\alpha)(1 + \cos 2\alpha) = 1^2 - \cos^2 2\alpha = 1 - \cos^2 2\alpha \).
• Шаг 2: Используем основное тригонометрическое тождество для угла \( 2\alpha \):
  \( \sin^2 2\alpha + \cos^2 2\alpha = 1 \), откуда \( 1 - \cos^2 2\alpha = \sin^2 2\alpha \).
• Шаг 3: Получаем, что ЛЧ равна правой части (ПЧ):
  \( \sin^2 2\alpha \).

Ответ: Тождество доказано.

Докажем тождество. Левая часть (ЛЧ) и правая часть (ПЧ) практически идентичны, отличаются только знаком в числителе ЛЧ. Упростим ЛЧ:

• Шаг 1: Вынесем \( -1 \) из числителя ЛЧ:
  \( \frac{\sin \alpha - 1}{\cos \alpha} = \frac{- (1 - \sin \alpha)}{\cos \alpha} \).
• Шаг 2: Перенесем знак минус перед дробью:
  \( - \frac{1 - \sin \alpha}{\cos \alpha} \).
  Это равно правой части (ПЧ).
  (Тождество определено при \( \cos \alpha \ne 0 \)).

Ответ: Тождество доказано.

Преобразуем левую часть (ЛЧ) тождества:

• Шаг 1: Заменим \( \frac{1}{\cos^2 \alpha} \) на \( \frac{1}{1 - \sin^2 \alpha} \) (из основного тождества):
  \( \frac{1}{1 - \sin^2 \alpha} - \frac{1}{1 + \sin \alpha} \).
• Шаг 2: Разложим знаменатель первого члена как разность квадратов: \( 1 - \sin^2 \alpha = (1 - \sin \alpha)(1 + \sin \alpha) \).
  \( \frac{1}{(1 - \sin \alpha)(1 + \sin \alpha)} - \frac{1}{1 + \sin \alpha} \).
• Шаг 3: Приведем к общему знаменателю \( (1 - \sin \alpha)(1 + \sin \alpha) \):
  \( \frac{1}{(1 - \sin \alpha)(1 + \sin \alpha)} - \frac{1 \cdot (1 - \sin \alpha)}{(1 + \sin \alpha) \cdot (1 - \sin \alpha)} = \frac{1 - (1 - \sin \alpha)}{(1 - \sin \alpha)(1 + \sin \alpha)} \).
• Шаг 4: Упростим числитель:
  \( \frac{1 - 1 + \sin \alpha}{(1 - \sin \alpha)(1 + \sin \alpha)} = \frac{\sin \alpha}{(1 - \sin \alpha)(1 + \sin \alpha)} \).
• Шаг 5: Правая часть (ПЧ) равна \( \frac{1}{1 - \sin \alpha} \). Таким образом, ЛЧ \( \frac{\sin \alpha}{(1 - \sin \alpha)(1 + \sin \alpha)} \) не равна ПЧ \( \frac{1}{1 - \sin \alpha} \). В условии допущена опечатка.
  
  Возможное верное тождество (если ПЧ \( \frac{1}{1 - \sin \alpha} - \frac{1}{1 + \sin \alpha} \)):
  Если ЛЧ \( \frac{1}{\cos^2 \alpha} \) и ПЧ \( \frac{1}{(1 - \sin \alpha)(1 + \sin \alpha)} \). Это тождество.
  
  Возможное верное тождество (если ЛЧ \( \frac{1}{1 - \sin \alpha} + \frac{1}{1 + \sin \alpha} \)):
  \( \frac{1 + \sin \alpha + 1 - \sin \alpha}{(1 - \sin \alpha)(1 + \sin \alpha)} = \frac{2}{1 - \sin^2 \alpha} = \frac{2}{\cos^2 \alpha} \).
• Шаг 6: Считая, что ЛЧ должна быть \( \frac{1}{\cos^2 \alpha} = \frac{1}{(1 - \sin \alpha)(1 + \sin \alpha)} \):
  Исходное тождество неверно.

Ответ: Исходное тождество неверно. Если предположить, что тождество было \( \frac{1}{\cos^2 \alpha} = \frac{1}{(1 - \sin \alpha)(1 + \sin \alpha)} \), то оно верно, так как \( \cos^2 \alpha = 1 - \sin^2 \alpha = (1 - \sin \alpha)(1 + \sin \alpha) \).

Докажем тождество, преобразовав левую часть (ЛЧ):

• Шаг 1: Приведем слагаемые ЛЧ к общему знаменателю \( \sin \alpha (1 + \cos \alpha) \):
  \( \frac{\sin \alpha \cdot \sin \alpha + (1 + \cos \alpha) \cdot (1 + \cos \alpha)}{\sin \alpha (1 + \cos \alpha)} = \frac{\sin^2 \alpha + (1 + \cos \alpha)^2}{\sin \alpha (1 + \cos \alpha)} \).
• Шаг 2: Раскроем квадрат суммы в числителе:
  \( (1 + \cos \alpha)^2 = 1 + 2 \cos \alpha + \cos^2 \alpha \).
• Шаг 3: Подставим и перегруппируем числитель:
  \( \frac{\sin^2 \alpha + 1 + 2 \cos \alpha + \cos^2 \alpha}{\sin \alpha (1 + \cos \alpha)} = \frac{(\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha) + 1 + 2 \cos \alpha}{\sin \alpha (1 + \cos \alpha)} \).
• Шаг 4: Используем основное тождество \( \sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1 \):
  \( \frac{1 + 1 + 2 \cos \alpha}{\sin \alpha (1 + \cos \alpha)} = \frac{2 + 2 \cos \alpha}{\sin \alpha (1 + \cos \alpha)} \).
• Шаг 5: Вынесем 2 за скобки в числителе:
  \( \frac{2 (1 + \cos \alpha)}{\sin \alpha (1 + \cos \alpha)} \).
• Шаг 6: Сократим на \( 1 + \cos \alpha \) (при условии \( 1 + \cos \alpha \ne 0 \)):
  \( \frac{2}{\sin \alpha} \).
  Это равно правой части (ПЧ).

Ответ: Тождество доказано.

Докажем тождество, используя метод "крест-накрест" (умножив обе части на знаменатели) и доказав равенство числителей:

• Шаг 1: Предположим, что \( \sin \alpha \ne 0 \) и \( 1 - \cos \alpha \ne 0 \). Умножим ЛЧ на \( (1 - \cos \alpha) \) и ПЧ на \( \sin \alpha \):
  \( (1 + \cos \alpha)(1 - \cos \alpha) = \sin \alpha \cdot \sin \alpha \).
• Шаг 2: В левой части применим формулу разности квадратов:
  \( 1^2 - \cos^2 \alpha = \sin^2 \alpha \).
• Шаг 3: В правой части получим:
  \( \sin^2 \alpha = \sin^2 \alpha \).
• Шаг 4: Используем основное тождество \( 1 - \cos^2 \alpha = \sin^2 \alpha \).
  \( \sin^2 \alpha = \sin^2 \alpha \).
  Равенство выполняется, следовательно, исходное тождество верно.

Ответ: Тождество доказано.

Докажем тождество, используя метод "крест-накрест" (умножив обе части на знаменатели) и доказав равенство числителей:

• Шаг 1: Предположим, что \( \sin \alpha \ne 0 \) и \( 1 + \cos \alpha \ne 0 \). Умножим ЛЧ на \( (1 + \cos \alpha) \) и ПЧ на \( \sin \alpha \):
  \( (1 - \cos \alpha)(1 + \cos \alpha) = \sin \alpha \cdot \sin \alpha \).
• Шаг 2: В левой части применим формулу разности квадратов:
  \( 1^2 - \cos^2 \alpha = \sin^2 \alpha \).
• Шаг 3: В правой части получим:
  \( \sin^2 \alpha = \sin^2 \alpha \).
• Шаг 4: Используем основное тождество \( 1 - \cos^2 \alpha = \sin^2 \alpha \).
  \( \sin^2 \alpha = \sin^2 \alpha \).
  Равенство выполняется, следовательно, исходное тождество верно.

Ответ: Тождество доказано.

Докажем тождество, преобразовав левую часть (ЛЧ). Это тождество уже было доказано при упрощении в упр. 469, вариант 3.

• Шаг 1: Используем тождества:
  \( 1 + \text{tg}^2 \alpha = \frac{1}{\cos^2 \alpha} \)
  \( 1 + \text{ctg}^2 \alpha = \frac{1}{\sin^2 \alpha} \).
• Шаг 2: Подставим их в слагаемые:
  Первый член: \( \frac{1}{\frac{1}{\cos^2 \alpha}} = \cos^2 \alpha \).
  Второй член: \( \frac{1}{\frac{1}{\sin^2 \alpha}} = \sin^2 \alpha \).
• Шаг 3: Сложим преобразованные члены:
  \( \cos^2 \alpha + \sin^2 \alpha \).
• Шаг 4: Используем основное тригонометрическое тождество:
  \( \cos^2 \alpha + \sin^2 \alpha = 1 \).
  Это равно правой части (ПЧ).

Ответ: Тождество доказано.

Докажем тождество, преобразовав левую часть (ЛЧ):

• Шаг 1: Заменим \( \text{tg}^2 \alpha \) на \( \frac{\sin^2 \alpha}{\cos^2 \alpha} \):
  \( \frac{\sin^2 \alpha}{\cos^2 \alpha} - \sin^2 \alpha \).
• Шаг 2: Вынесем общий множитель \( \sin^2 \alpha \) за скобки:
  \( \sin^2 \alpha \left( \frac{1}{\cos^2 \alpha} - 1 \right) \).
• Шаг 3: Упростим выражение в скобках, приведя к общему знаменателю:
  \( \frac{1}{\cos^2 \alpha} - 1 = \frac{1 - \cos^2 \alpha}{\cos^2 \alpha} \).
• Шаг 4: Используем основное тождество \( 1 - \cos^2 \alpha = \sin^2 \alpha \):
  \( \frac{\sin^2 \alpha}{\cos^2 \alpha} \).
• Шаг 5: Подставим обратно в выражение:
  \( \sin^2 \alpha \left( \frac{\sin^2 \alpha}{\cos^2 \alpha} \right) = \left( \frac{\sin^2 \alpha}{\cos^2 \alpha} \right) \cdot \sin^2 \alpha \).
• Шаг 6: Заменим \( \frac{\sin^2 \alpha}{\cos^2 \alpha} \) на \( \text{tg}^2 \alpha \):
  \( \text{tg}^2 \alpha \sin^2 \alpha \).
  Это равно правой части (ПЧ).

Ответ: Тождество доказано.