ГДЗ: Упражнение 468 - § 26 (Тригонометрические тождества) - (Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы, Алимов Шавкат Арифджанович, Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна)

Докажем тождество, преобразовав левую часть (ЛЧ):

• Шаг 1: Преобразуем первый множитель, используя основное тождество \( \sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1 \):
  \( 1 - \sin^2 \alpha = \cos^2 \alpha \).
• Шаг 2: Преобразуем второй множитель, используя тождество \( 1 + \text{tg}^2 \alpha = \frac{1}{\cos^2 \alpha} \):
  \( 1 + \text{tg}^2 \alpha = \frac{1}{\cos^2 \alpha} \).
  (Тождество определено при \( \cos \alpha \ne 0 \)).
• Шаг 3: Перемножим преобразованные множители:
  \( (\cos^2 \alpha) \cdot \left( \frac{1}{\cos^2 \alpha} \right) \).
• Шаг 4: Сократим \( \cos^2 \alpha \):
  \( \cos^2 \alpha \cdot \frac{1}{\cos^2 \alpha} = 1 \).
  Это равно правой части (ПЧ).

Ответ: Тождество доказано.

Докажем тождество, преобразовав левую часть (ЛЧ):

• Шаг 1: Преобразуем выражение в скобках, используя тождество \( 1 + \text{ctg}^2 \alpha = \frac{1}{\sin^2 \alpha} \):
  \( \sin^2 \alpha \left( \frac{1}{\sin^2 \alpha} \right) - \cos^2 \alpha \).
  (Тождество определено при \( \sin \alpha \ne 0 \)).
• Шаг 2: Выполним умножение в первом слагаемом:
  \( \sin^2 \alpha \cdot \frac{1}{\sin^2 \alpha} = 1 \).
• Шаг 3: Подставим результат обратно в ЛЧ:
  \( 1 - \cos^2 \alpha \).
• Шаг 4: Используем основное тождество \( 1 - \cos^2 \alpha = \sin^2 \alpha \).
  Это равно правой части (ПЧ).

Ответ: Тождество доказано.