ГДЗ: Упражнение 467 - § 26 (Тригонометрические тождества) - (Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы, Алимов Шавкат Арифджанович, Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна)

Упростим выражение:

• Шаг 1: Используем следствия из основного тригонометрического тождества \( \sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1 \):
  Числитель: \( \sin^2 \alpha - 1 = - (1 - \sin^2 \alpha) = -\cos^2 \alpha \).
  Знаменатель: \( 1 - \cos^2 \alpha = \sin^2 \alpha \).
• Шаг 2: Подставим упрощенные части обратно в выражение:
  \( \frac{-\cos^2 \alpha}{\sin^2 \alpha} \).
• Шаг 3: Заменим отношение квадратов косинуса и синуса на квадрат котангенса:
  \( - \left( \frac{\cos \alpha}{\sin \alpha} \right)^2 = -\text{ctg}^2 \alpha \).
• Шаг 4: Найдем значение выражения при \( \alpha = \frac{\pi}{4} \).
  \( -\text{ctg}^2 \left( \frac{\pi}{4} \right) \).
  Известно, что \( \text{ctg} \left( \frac{\pi}{4} \right) = 1 \).
• Шаг 5: Вычислим значение:
  \( - (1)^2 = -1 \).

Ответ: Упрощенное выражение: \( -\text{ctg}^2 \alpha \). Значение: \( -1 \).

Упростим выражение:

• Шаг 1: Перегруппируем слагаемые, чтобы использовать основное тригонометрическое тождество:
  \( (\cos^2 \alpha + \sin^2 \alpha) + \text{ctg}^2 \alpha \).
• Шаг 2: Используем \( \cos^2 \alpha + \sin^2 \alpha = 1 \):
  \( 1 + \text{ctg}^2 \alpha \).
• Шаг 3: Используем тождество \( 1 + \text{ctg}^2 \alpha = \frac{1}{\sin^2 \alpha} \):
  \( \frac{1}{\sin^2 \alpha} \).
• Шаг 4: Найдем значение выражения при \( \alpha = \frac{\pi}{6} \).
  \( \frac{1}{\sin^2 \left( \frac{\pi}{6} \right) } \).
  Известно, что \( \sin \left( \frac{\pi}{6} \right) = \frac{1}{2} \).
• Шаг 5: Вычислим значение:
  \( \frac{1}{\left( \frac{1}{2} \right)^2} = \frac{1}{\frac{1}{4}} = 4 \).

Ответ: Упрощенное выражение: \( \frac{1}{\sin^2 \alpha} \). Значение: \( 4 \).

Упростим выражение:

• Шаг 1: Приведем выражение к общему знаменателю:
  \( \frac{1}{\cos^2 \alpha} - \frac{\cos^2 \alpha}{\cos^2 \alpha} = \frac{1 - \cos^2 \alpha}{\cos^2 \alpha} \).
• Шаг 2: Используем основное тригонометрическое тождество \( 1 - \cos^2 \alpha = \sin^2 \alpha \):
  \( \frac{\sin^2 \alpha}{\cos^2 \alpha} \).
• Шаг 3: Заменим отношение квадратов синуса и косинуса на квадрат тангенса:
  \( \text{tg}^2 \alpha \).
  (Можно также сразу использовать тождество \( \frac{1}{\cos^2 \alpha} - 1 = (1 + \text{tg}^2 \alpha) - 1 = \text{tg}^2 \alpha \)).
• Шаг 4: Найдем значение выражения при \( \alpha = \frac{\pi}{3} \).
  \( \text{tg}^2 \left( \frac{\pi}{3} \right) \).
  Известно, что \( \text{tg} \left( \frac{\pi}{3} \right) = \sqrt{3} \).
• Шаг 5: Вычислим значение:
  \( (\sqrt{3})^2 = 3 \).

Ответ: Упрощенное выражение: \( \text{tg}^2 \alpha \). Значение: \( 3 \).

Упростим выражение:

• Шаг 1: Перегруппируем слагаемые и используем тождество \( \text{tg} \alpha \cdot \text{ctg} \alpha = 1 \):
  \( (\cos^2 \alpha + \sin^2 \alpha) + (\text{tg} \alpha \cdot \text{ctg} \alpha)^2 \).
• Шаг 2: Применим основное тригонометрическое тождество и тождество произведения:
  \( (1) + (1)^2 = 1 + 1 = 2 \).
  Упрощенное выражение равно константе 2, независимо от значения \( \alpha \) (при условии, что \( \text{tg} \alpha \) и \( \text{ctg} \alpha \) определены).
• Шаг 3: Найдем значение выражения при \( \alpha = \frac{\pi}{3} \):
  Поскольку выражение равно 2, его значение также равно 2.

Ответ: Упрощенное выражение: \( 2 \). Значение: \( 2 \).