Найти корни уравнения, принадлежащие промежутку \( [0; 3\pi] \):
1)
\( 2 \cos x + \sqrt{3} = 0 \)
Ответ
Решение:
Шаг 1: Решим уравнение: \( 2 \cos x = -\sqrt{3} \), \( \cos x = -\frac{\sqrt{3}}{2} \).
Шаг 2: Общее решение: \( x = \pm \arccos \left( -\frac{\sqrt{3}}{2} \right) + 2\pi n, n \in \mathbb{Z} \), \( x = \pm \left( \pi - \frac{\pi}{6} \right) + 2\pi n \), \( x = \pm \frac{5\pi}{6} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z} \).
Шаг 3: Отбор корней на промежутке \( [0; 3\pi] \): Случай 1: \( x = \frac{5\pi}{6} + 2\pi n \). При \( n=0 \): \( x = \frac{5\pi}{6} \). (\( \frac{5\pi}{6} \in [0; 3\pi] \)) При \( n=1 \): \( x = \frac{5\pi}{6} + 2\pi = \frac{17\pi}{6} \). (\( \frac{17\pi}{6} = 2\pi + \frac{5\pi}{6} \in [0; 3\pi] \), так как \( \frac{17}{6} \le 3 \) - верно) При \( n=2 \): \( x = \frac{5\pi}{6} + 4\pi = \frac{29\pi}{6} \) (\( > 3\pi \)). Случай 2: \( x = -\frac{5\pi}{6} + 2\pi n \). При \( n=0 \): \( x = -\frac{5\pi}{6} \) (\( < 0 \)). При \( n=1 \): \( x = -\frac{5\pi}{6} + 2\pi = \frac{7\pi}{6} \). (\( \frac{7\pi}{6} \in [0; 3\pi] \)) При \( n=2 \): \( x = -\frac{5\pi}{6} + 4\pi = \frac{19\pi}{6} \). (\( \frac{19\pi}{6} \in [0; 3\pi] \), так как \( \frac{19}{6} \approx 3.16 > 3 \pi \). Проверка: \( 3\pi = \frac{18\pi}{6} \). Значит, \( \frac{19\pi}{6} \) не подходит.)
Результат: Корни на промежутке: \( \frac{5\pi}{6}, \frac{7\pi}{6}, \frac{17\pi}{6} \).
Шаг 2: Поскольку \( \sqrt{3} \approx 1.732 \), и \( 1.732 > 1 \), уравнение \( \sin x = \sqrt{3} \) не имеет решений, так как область значений функции \( y = \sin x \) - это \( [-1; 1] \).
Результат: Корней нет, и, следовательно, нет корней, принадлежащих промежутку \( [0; 3\pi] \).
Ответ: Корней нет
3)
\( 3 \operatorname{tg} x = \sqrt{3} \)
Ответ
Решение:
Шаг 1: Решим уравнение: \( \operatorname{tg} x = \frac{\sqrt{3}}{3} \).
Шаг 2: Общее решение: \( x = \operatorname{arctg} \left( \frac{\sqrt{3}}{3} \right) + \pi n, n \in \mathbb{Z} \), \( x = \frac{\pi}{6} + \pi n, n \in \mathbb{Z} \).
Шаг 3: Отбор корней на промежутке \( [0; 3\pi] \): При \( n=0 \): \( x = \frac{\pi}{6} \). При \( n=1 \): \( x = \frac{\pi}{6} + \pi = \frac{7\pi}{6} \). При \( n=2 \): \( x = \frac{\pi}{6} + 2\pi = \frac{13\pi}{6} \). При \( n=3 \): \( x = \frac{\pi}{6} + 3\pi = \frac{19\pi}{6} \). (\( \frac{19\pi}{6} > 3\pi = \frac{18\pi}{6} \), не подходит).
Результат: Корни на промежутке: \( \frac{\pi}{6}, \frac{7\pi}{6}, \frac{13\pi}{6} \).
Шаг 2: Общее решение: \( x = \pi + 2\pi n, n \in \mathbb{Z} \).
Шаг 3: Отбор корней на промежутке \( [0; 3\pi] \): При \( n=0 \): \( x = \pi \). При \( n=1 \): \( x = \pi + 2\pi = 3\pi \). При \( n=2 \): \( x = \pi + 4\pi = 5\pi \) (\( > 3\pi \)).
Результат: Корни на промежутке: \( \pi, 3\pi \).
Ответ: \( \pi, 3\pi \)
Что применять при решении
Область определения функции
Множество всех значений аргумента \( x \), при которых функция \( y=f(x) \) имеет смысл. Основные ограничения: знаменатель не равен нулю, подкоренное выражение четной степени должно быть неотрицательным, аргумент тангенса не должен быть равен \( \frac{\pi}{2} + \pi n, n \in \mathbb{Z} \).
Множество всех значений \( y \), которые может принимать функция \( y=f(x) \). Для тригонометрических функций \( \sin x \) и \( \cos x \) область значений - это отрезок \( [-1; 1] \).
\( E(f) = \{ y \in \mathbb{R} \mid y = f(x), x \in D(f) \} \)
Четность и нечетность функции
Функция \( f(x) \) называется четной, если \( f(-x) = f(x) \) для всех \( x \) из области определения. Функция называется нечетной, если \( f(-x) = -f(x) \) для всех \( x \) из области определения. Если ни одно из условий не выполняется, функция является функцией общего вида.
Наименьший положительный период тригонометрических функций
Число \( T > 0 \) называется периодом функции \( f(x) \), если \( f(x+T) = f(x) \) для всех \( x \). Для функций \( y = \sin(kx) \) и \( y = \cos(kx) \) наименьший положительный период равен \( T = \frac{2\pi}{|k|} \). Для \( y = \operatorname{tg}(kx) \) и \( y = \operatorname{ctg}(kx) \) период равен \( T = \frac{\pi}{|k|} \).
Создать проектГотовый файл Word. Оплата после того, как увидите работу.
Уведомление об авторском праве и цитировании
ВНИМАНИЕ: Представленные фрагменты из учебных материалов
используются исключительно в научно-образовательных целях в объеме,
оправданном поставленной целью.
Данное использование осуществляется в рамках, установленных законодательством об авторском праве
(в частности, нормами о свободном использовании произведения для образовательных целей).
В соответствии с законодательством, автор и источник заимствования
указаны для каждого используемого фрагмента.
