Найти все решения неравенства, принадлежащие промежутку \( [-2\pi; -\pi] \):
1)
\( 1 + 2 \cos x \ge 0 \)
Ответ
Решение:
Шаг 1: Решим неравенство: \( 2 \cos x \ge -1 \), \( \cos x \ge -\frac{1}{2} \).
Шаг 2: Общее решение неравенства \( \cos x \ge -\frac{1}{2} \): Углы, в которых \( \cos x = -\frac{1}{2} \), это \( \pm \frac{2\pi}{3} \). Косинус больше или равен \( -\frac{1}{2} \) в интервале \( [-\frac{2\pi}{3} + 2\pi n; \frac{2\pi}{3} + 2\pi n], n \in \mathbb{Z} \).
Результат: Решения на промежутке: \( [-2\pi; -\frac{4\pi}{3}] \).
Ответ: \( [-2\pi; -\frac{4\pi}{3}] \)
2)
\( 1 - 2 \sin x < 0 \)
Ответ
Решение:
Шаг 1: Решим неравенство: \( -2 \sin x < -1 \), \( 2 \sin x > 1 \) (умножили на \(-1\), знак поменялся), \( \sin x > \frac{1}{2} \).
Шаг 2: Общее решение неравенства \( \sin x > \frac{1}{2} \): Углы, в которых \( \sin x = \frac{1}{2} \), это \( \frac{\pi}{6} \) и \( \frac{5\pi}{6} \). Синус больше \( \frac{1}{2} \) в интервале \( (\frac{\pi}{6} + 2\pi n; \frac{5\pi}{6} + 2\pi n), n \in \mathbb{Z} \).
Шаг 3: Отбор решений на промежутке \( [-2\pi; -\pi] \). Промежуток \( [-2\pi; -\pi] \) соответствует \( n=-1 \). Положим \( n=-1 \): \( (\frac{\pi}{6} - 2\pi; \frac{5\pi}{6} - 2\pi) = (\frac{\pi - 12\pi}{6}; \frac{5\pi - 12\pi}{6}) = (-\frac{11\pi}{6}; -\frac{7\pi}{6}) \). Проверим, что \( (-\frac{11\pi}{6}; -\frac{7\pi}{6}) \) содержится в \( [-2\pi; -\pi] \). \( -2\pi = -\frac{12\pi}{6} \). \( -\pi = -\frac{6\pi}{6} \). Поскольку \( -\frac{12\pi}{6} < -\frac{11\pi}{6} \) и \( -\frac{7\pi}{6} < -\frac{6\pi}{6} \), интервал находится внутри.
Результат: Решения на промежутке: \( (-\frac{11\pi}{6}; -\frac{7\pi}{6}) \).
Ответ: \( (-\frac{11\pi}{6}; -\frac{7\pi}{6}) \)
3)
\( 2 + \operatorname{tg} x > 0 \)
Ответ
Решение:
Шаг 1: Решим неравенство: \( \operatorname{tg} x > -2 \).
Шаг 2: Общее решение: В каждом интервале длины \( \pi \), где определен тангенс, решение: \( \operatorname{arctg} (-2) + \pi n < x < \frac{\pi}{2} + \pi n, n \in \mathbb{Z} \). Заметим, что \( \operatorname{arctg} (-2) = -\operatorname{arctg} 2 \). Общее решение: \( -\operatorname{arctg} 2 + \pi n < x < \frac{\pi}{2} + \pi n, n \in \mathbb{Z} \).
Шаг 3: Отбор решений на промежутке \( [-2\pi; -\pi] \). Промежуток \( [-2\pi; -\pi] \) включает интервалы для \( n=-2 \) и \( n=-1 \). Случай 1: \( n=-2 \). \( -\operatorname{arctg} 2 - 2\pi < x < \frac{\pi}{2} - 2\pi \), \( -2\pi - \operatorname{arctg} 2 < x < -\frac{3\pi}{2} \). Пересечение с \( [-2\pi; -\pi] \): \( [-2\pi; -\frac{3\pi}{2}] \) полностью содержит этот интервал, так как \( -2\pi < -2\pi - \operatorname{arctg} 2 \). Получаем \( [-2\pi; -\frac{3\pi}{2}] \). Поправка: \( -2\pi - \operatorname{arctg} 2 < -2\pi \) (неправильно, \( -2\pi - \text{положительное число} \) меньше \( -2\pi \)). Правильно: \([ -2\pi; -\frac{3\pi}{2} ) \). \( -2\pi \le x < -\frac{3\pi}{2} \) и \( x > -2\pi - \operatorname{arctg} 2 \). Пересечение: \( (-2\pi - \operatorname{arctg} 2; -\frac{3\pi}{2}) \). Случай 2: \( n=-1 \). \( -\operatorname{arctg} 2 - \pi < x < \frac{\pi}{2} - \pi \), \( -\pi - \operatorname{arctg} 2 < x < -\frac{\pi}{2} \). Пересечение с \( [-2\pi; -\pi] \): \( [-2\pi; -\pi] \) содержит интервал \( ( -\pi; -\frac{\pi}{2} ) \). Пересечение: \( (-\pi; -\frac{\pi}{2}) \). Поправка: \( x > -\pi - \operatorname{arctg} 2 \). Получаем: \( (-\pi - \operatorname{arctg} 2; -\frac{\pi}{2}) \).
Множество всех значений аргумента \( x \), при которых функция \( y=f(x) \) имеет смысл. Основные ограничения: знаменатель не равен нулю, подкоренное выражение четной степени должно быть неотрицательным, аргумент тангенса не должен быть равен \( \frac{\pi}{2} + \pi n, n \in \mathbb{Z} \).
Множество всех значений \( y \), которые может принимать функция \( y=f(x) \). Для тригонометрических функций \( \sin x \) и \( \cos x \) область значений - это отрезок \( [-1; 1] \).
\( E(f) = \{ y \in \mathbb{R} \mid y = f(x), x \in D(f) \} \)
Четность и нечетность функции
Функция \( f(x) \) называется четной, если \( f(-x) = f(x) \) для всех \( x \) из области определения. Функция называется нечетной, если \( f(-x) = -f(x) \) для всех \( x \) из области определения. Если ни одно из условий не выполняется, функция является функцией общего вида.
Наименьший положительный период тригонометрических функций
Число \( T > 0 \) называется периодом функции \( f(x) \), если \( f(x+T) = f(x) \) для всех \( x \). Для функций \( y = \sin(kx) \) и \( y = \cos(kx) \) наименьший положительный период равен \( T = \frac{2\pi}{|k|} \). Для \( y = \operatorname{tg}(kx) \) и \( y = \operatorname{ctg}(kx) \) период равен \( T = \frac{\pi}{|k|} \).
Создать проектГотовый файл Word. Оплата после того, как увидите работу.
Уведомление об авторском праве и цитировании
ВНИМАНИЕ: Представленные фрагменты из учебных материалов
используются исключительно в научно-образовательных целях в объеме,
оправданном поставленной целью.
Данное использование осуществляется в рамках, установленных законодательством об авторском праве
(в частности, нормами о свободном использовании произведения для образовательных целей).
В соответствии с законодательством, автор и источник заимствования
указаны для каждого используемого фрагмента.
